border=0


Hoe onderzoek je een functie voor continuïteit?




De studie van de functie van continuïteit op een bepaald punt wordt uitgevoerd volgens een reeds opgerolde routine, die bestaat uit het controleren van drie continuïteitsvoorwaarden:

Voorbeeld 1

Verkennen functie op continuïteit. Bepaal de aard van de discontinuïteiten van de functie, indien deze bestaan. Maak een tekening.

Oplossing :

1) Een enkel punt valt onder het toepassingsgebied waarin de functie niet is gedefinieerd.

2) We berekenen de eenzijdige limieten:

Eenzijdige limieten zijn eindig en gelijk.

Dus op het punt de functie heeft een verwijderbare opening.

Hoe ziet de grafiek van deze functie eruit?

Ik wil vereenvoudigen , en het lijkt een gewone parabool te zijn. MAAR de oorspronkelijke functie is op dit punt niet gedefinieerd daarom is de volgende disclaimer verplicht:

Laten we de tekening uitvoeren:

Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn behalve het punt waarin ze een verwijderbare pauze lijdt.

De functie kan op een goede of niet erg manier opnieuw worden gedefinieerd, maar op voorwaarde is dit niet vereist.

U zegt een vergezocht exemplaar? Helemaal niet. Tientallen keren in de praktijk ontmoet. Bijna alle taken van de site komen van echt onafhankelijk en controlewerk.

We zullen onze favoriete modules behandelen:

Voorbeeld 2

Verkennen functie op continuïteit. Bepaal de aard van de discontinuïteiten van de functie, indien deze bestaan. Maak een tekening.

Oplossing : om de een of andere reden zijn studenten bang en houden ze niet van functies met de module, hoewel er niets ingewikkelds in zit. We hebben dergelijke dingen al een beetje behandeld in de les Geometrische transformaties van grafieken . Omdat de module niet-negatief is, wordt deze als volgt uitgebreid: waar "alpha" een uitdrukking is. In dit geval , en onze functie zou in stukjes moeten ondertekenen:

Maar de fracties van beide stukken moeten worden verminderd met . De reductie, zoals in het vorige voorbeeld, zal niet zonder gevolgen blijven. Bronfunctie niet gedefinieerd op punt , zoals de noemer verdwijnt. Daarom moet het systeem bovendien de toestand aangeven en de eerste ongelijkheid streng maken:

Nu over een ZEER HANDIGE besluitvorming : voordat de taak op een ontwerp wordt voltooid, is het voordelig om een ​​tekening te maken (ongeacht of dit door de voorwaarde is vereist of niet). Dit zal ten eerste helpen om onmiddellijk de punten van continuïteit en breekpunten te zien, en ten tweede zal 100% besparen op fouten bij het vinden van eenzijdige limieten.

Laten we een tekening maken. In overeenstemming met onze berekeningen, links van het punt moet een fragment van een parabool tekenen (blauw), en aan de rechterkant is een stuk parabool (rood), terwijl de functie niet op het punt zelf is gedefinieerd :

Neem bij twijfel een paar "X" -waarden en vervang ze in een functie (vergeet niet dat de module het mogelijke minteken vernietigt) en controleer het schema.


border=0


We onderzoeken de functie van continuïteit analytisch:

1) De functie is niet gedefinieerd op het punt daarom kunnen we onmiddellijk zeggen dat het er niet continu in zit.

2) We bepalen de aard van de kloof, hiervoor berekenen we de eenzijdige limieten:

Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie discontinu is van de eerste soort met een sprong op een punt . Merk op dat het niet uitmaakt of de functie op het breekpunt is gedefinieerd of niet.

Nu blijft het over om de tekening van het ontwerp over te zetten (het werd gemaakt met behulp van onderzoek ;-)) en de taak te voltooien:

Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn behalve het punt waarin ze een pauze van de eerste soort lijdt met een sprong.

Soms is het nodig om bovendien een sprong in de opening aan te geven. Het wordt elementair berekend - van de juiste limiet moet u de linkerlimiet aftrekken: , dat wil zeggen dat onze functie bij het breekpunt 2 eenheden naar beneden sprong (zoals aangegeven door het minteken).

Voorbeeld 3

Verkennen functie op continuïteit. Bepaal de aard van de discontinuïteiten van de functie, indien deze bestaan. Maak een tekening.

Dit is een voorbeeld voor een onafhankelijke oplossing, een benaderend voorbeeld van een oplossing aan het einde van de les.

Laten we verder gaan naar de meest populaire en meest voorkomende versie van de taak, wanneer de functie uit drie delen bestaat:

Voorbeeld 4

Onderzoek de functie voor continuïteit en plot de functie

.

Oplossing : het is duidelijk dat alle drie delen van de functie continu zijn op de overeenkomstige intervallen, dus het blijft om slechts twee "verbindingspunten" tussen de stukken te controleren. Eerst zullen we het ontwerp op het ontwerp tekenen, ik heb in het eerste deel van het artikel voldoende gedetailleerd op de bouwtechniek gereageerd. Het enige dat u nodig hebt om onze speciale punten zorgvuldig te volgen: vanwege ongelijkheid betekenis behoort tot direct (groene stip), en vanwege ongelijkheid betekenis behoort tot de parabool (rode stip):

Nou, in principe is alles duidelijk =) Het blijft een oplossing bedenken. Voor elk van de twee "butt" -punten controleren we routinematig 3 continuïteitsvoorwaarden:



I) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie lijdt een pauze van de eerste soort met een sprong op een punt .

We berekenen de gap jump als het verschil tussen de rechter- en linkerlimiet:
dat wil zeggen dat de grafiek één eenheid omhoog trok.

II) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:

- unilaterale limieten zijn eindig en gelijk, wat betekent dat er een gemeenschappelijke limiet is.

3) - de limiet van de functie op een punt is gelijk aan de waarde van deze functie op een bepaald punt.

Dus de functie continu op punt door de definitie van de continuïteit van een functie op een punt.

Breng de tekening in de laatste fase over naar de schoner, waarna we het laatste akkoord plaatsen:

Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn, behalve het punt waarin ze een pauze van de eerste soort lijdt met een sprong.

Klaar.

Voorbeeld 5

Onderzoek een functie voor continuïteit en plot deze .

Dit is een voorbeeld voor een onafhankelijke oplossing, een korte oplossing en een bij benadering voorbeeld van het ontwerp van de taak aan het einde van de les.

Het lijkt misschien dat op een gegeven moment de functie continu moet zijn, en aan de andere kant moet er een kloof zijn. In de praktijk is dit verre van altijd het geval. Probeer de resterende voorbeelden niet te verwaarlozen - er zullen enkele interessante en be>

Voorbeeld 6

Gegeven functie . Onderzoek de functie van continuïteit op punten . Bouw een schema.

Oplossing : voer de ontwerptekening opnieuw uit:

De eigenaardigheid van deze grafiek is dat wanneer stuksgewijze functie wordt gegeven door de vergelijking van de abscis-as . Hier wordt dit gedeelte groen getekend en in een notitieblok wordt het meestal vetgedrukt gemarkeerd met een eenvoudig potlood. En vergeet natuurlijk onze schapen niet: de betekenis verwijst naar de raaklijntak (rode stip) en de waarde behoort tot direct .

Alles is duidelijk uit de tekening - de functie is continu op de hele numerieke lijn, het blijft om een ​​oplossing op te stellen die letterlijk tot 3-4 automatisme wordt gebracht na 3-4 dergelijke voorbeelden:

I) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) We berekenen de eenzijdige limieten:

, dan bestaat er een gemeenschappelijke limiet.

Er gebeurde hier een kleine eigenaardigheid. Het feit is dat ik veel materiaal heb gemaakt over de grenzen van de functie , en dat wilde ik verschillende keren, maar meerdere keren vergat ik een simpele vraag. En dus, met een ongelooflijke inspanning van wil, dwong hij zichzelf zijn gedachten niet te verliezen =) Hoogstwaarschijnlijk, sommige lezers, "dummies," twijfel: wat is de limiet van de constante? De limiet van een constante is gelijk aan de constante zelf. In dit geval is de nullimiet gelijk aan nul zelf (linkerlimiet).

Wij gaan verder:

3) - de limiet van de functie op een punt is gelijk aan de waarde van deze functie op een bepaald punt.

Dus de functie continu op punt door de definitie van de continuïteit van een functie op een punt.

II) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:

En hier, in de rechterlimiet, is de unitlimiet gelijk aan de unit zelf.

- er bestaat een gemeenschappelijke limiet.

3) - de limiet van de functie op een punt is gelijk aan de waarde van deze functie op een bepaald punt.

Dus de functie continu op punt door de definitie van de continuïteit van een functie op een punt.

Zoals gebruikelijk brengen we onze tekening na onderzoek over naar een schone kopie.

Antwoord : de functie is continu op punten .

Houd er rekening mee dat ons in de voorwaarde niets werd gevraagd over de studie van de volledige functie voor continuïteit en dat het als een goede wiskundige toon wordt beschouwd om een nauwkeurig en duidelijk antwoord op de gestelde vraag te formuleren. Trouwens, als de voorwaarde niet de opstelling van een schema vereist, dan heb je het recht om het niet te bouwen (echter, dan kan de leraar het laten gebeuren).

Een kleine wiskundige "tongbreker" voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 7

Gegeven functie .

Onderzoek de functie van continuïteit op punten . Classificeer breekpunten, indien aanwezig. Maak een tekening.

Probeer alle "woorden" = correct uit te spreken en een nauwkeuriger schema te maken, nauwkeurigheid, het zal niet overal overbodig zijn ;-)

Zoals u zich herinnert, raadde ik u aan om onmiddellijk een schets van een schets te maken, maar van tijd tot tijd komt u voorbeelden tegen waar u niet onmiddellijk kunt achterhalen hoe de grafiek eruit ziet. Daarom is het in sommige gevallen voordelig om eerst eenzijdige limieten te vinden en dan pas op basis van onderzoek takken af ​​te beelden. In de twee laatste voorbeelden beheersen we bovendien de techniek voor het berekenen van enkele eenzijdige limieten:

Voorbeeld 8

Ontdek continuïteitsfunctie en bouw haar schematisch diagram.

Oplossing : slechte punten zijn duidelijk: (zet de noemer van de indicator op nul) en (maakt de noemer van de hele fractie ongeldig). Het is niet duidelijk hoe de grafiek van deze functie eruit ziet, wat betekent dat het beter is om eerst een onderzoek uit te voeren:

I) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) De functie is momenteel niet gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:

Let op de typische methode om de eenrichtingslimiet te berekenen : we vervangen de functie "x" in de functie . Er is geen misdaad in de noemer: "optellen" "min nul" speelt geen rol en het blijkt "vier". Maar in de teller zit een kleine thriller: eerst in de noemer van de indicator kill –1 en 1, resulterend in . De eenheid gedeeld door een oneindig klein getal is gelijk aan "min oneindig", daarom: . En ten slotte is de "deuce" in een oneindig grote negatieve graad gelijk aan nul: . Of, indien meer in detail: .

We berekenen de rechterlimiet:

En hier - in plaats van "X" vervangen we . In de noemer is "additief" weer doet er niet toe: . In de teller worden acties vergelijkbaar met de vorige limiet uitgevoerd: we vernietigen de tegenovergestelde getallen en delen de eenheid door een oneindig klein positief getal :

De rechterlimiet is oneindig, wat betekent dat de functie op het punt een tweede opening ondergaat .

II) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) De functie is momenteel niet gedefinieerd.

2) We berekenen de linkerlimiet:

De methode is hetzelfde: we vervangen "x" in de functie . Er is niets interessants in de teller - we krijgen een eindig positief getal . En in de noemer openen we de haakjes, verwijderen de "triples" en speelt het "additief" een beslissende rol .

Als resultaat geeft een eindig positief getal gedeeld door een oneindig klein getal "plus oneindigheid": .

De rechterlimiet, zoals een tweelingbroer, met de enige uitzondering dat een oneindig klein getal in de noemer verschijnt:

Eenzijdige limieten zijn oneindig, wat betekent dat de functie op dit moment aan een tweede discontinuïteit lijdt .

We hebben dus twee breekpunten, en uiteraard drie takken van de grafiek. Voor elke tak is het raadzaam om puntsgewijs te bouwen, d.w.z. neem een ​​paar X-waarden en vervang ze door . чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Merk op dat, op voorwaarde, een schematische tekening is toegestaan, en dergelijke ontspanning is natuurlijk voor handmatig werk. Ik maak grafieken met behulp van het programma, dus ik heb geen dergelijke problemen, hier is een redelijk nauwkeurig beeld:

direct zijn de verticale asymptoten voor de grafiek van deze functie.

Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn behalve punten waarin ze pauzes van de 2e soort lijdt.

Een eenvoudigere functie voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 9

Ontdek continuïteitsfunctie en voer een schematische tekening uit.

Een benaderend monster van de oplossing aan het einde, die onopgemerkt sloop.

Tot gauw!

Beslissingen en antwoorden:

Voorbeeld 3: Oplossing : transformeer de functie: . Gezien de regel voor openbaarmaking van modules en het feit dat , herschrijven we de functie in stukvorm:

We bestuderen de functie voor continuïteit.

1) De functie is niet gedefinieerd op het punt .

2) We berekenen de eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie discontinu is van de eerste soort met een sprong op een punt . Laten we de tekening uitvoeren:

Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn behalve het punt waarin ze een pauze van de eerste soort lijdt met een sprong. Kloofsprong: (twee eenheden omhoog).

Voorbeeld 5: Oplossing : elk van de drie delen van de functie is continu in zijn interval.
I) We onderzoeken de continuïteit van het punt
1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) We berekenen de eenzijdige limieten:


, dan bestaat er een gemeenschappelijke limiet.
3) - de limiet van de functie op een punt is gelijk aan de waarde van deze functie op een bepaald punt.
Dus de functie continu op punt door de definitie van de continuïteit van een functie op een punt.
II) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie lijdt een pauze van de eerste soort met een sprong op een punt .
Kloofsprong: (vijf eenheden lager).
De tekening staat in het eerste deel van het artikel.
Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn, behalve het punt waarin ze een pauze van de eerste soort lijdt met een sprong.

Voorbeeld 7: oplossing :

I) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:


De linkerlimiet is oneindig, wat betekent dat de functie op het punt een discontinuïteit van de tweede soort ondervindt .
II) We onderzoeken de continuïteit van het punt

1) - de functie wordt op een bepaald punt gedefinieerd.

2) Vind de eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie lijdt een pauze van de eerste soort met een sprong op een punt .
Laten we de tekening uitvoeren:

Antwoord : Op een gegeven moment de functie lijdt op het punt van een tweede soort de functie breekt de 1e soort met een sprong.

Voorbeeld 9: Oplossing : onderzoek het continuïteitspunt :

1) De functie is momenteel niet gedefinieerd.

2) We berekenen de eenzijdige limieten:


De linkerlimiet is oneindig, wat betekent dat de functie op het punt een discontinuïteit van de tweede soort ondervindt .
Laten we de tekening uitvoeren:

Antwoord : de functie is continu op de gehele getallenlijn behalve het punt waarin ze een kloof van de 2e soort lijdt.

Auteur: Emelin Alexander

Hogere wiskunde voor externe studenten en niet alleen >>>

(Ga naar de hoofdpagina)

Hoe kan ik de auteur bedanken?

Hoe bereik je een functie?

Oplossingsvoorbeelden

Als er ergens niets is, dan is er ergens iets

We blijven de sectie "Functies en grafische afbeeldingen" bestuderen en het volgende station van onze reis is het gebied Functiedefinitie . Een actieve bespreking van dit concept begon in de allereerste les over functiegrafieken , waar ik elementaire functies onderzocht, en in het bijzonder hun domein van definitie. Daarom raad ik theepotten aan om te beginnen met de basis van het onderwerp, omdat ik niet opnieuw op enkele basispunten zal stilstaan.

Er wordt aangenomen dat de lezer het domein van de definitie van de hoofdfuncties kent: lineaire, kwadratische, kubieke functie, polynomen, exponent, logaritme, sinus, cosinus. Ze zijn gedefinieerd op . Voor raaklijnen, arcsines, het zij zo, ik vergeef =) Zeldzame afbeeldingen worden verre van onmiddellijk onthouden.

De reikwijdte is een ogenschijnlijk eenvoudig iets, en een legitieme vraag rijst, waar zal het artikel over gaan? In deze les zal ik algemene taken bespreken van het vinden van het domein van functiedefinitie. Bovendien zullen we ongelijkheden herhalen met één variabele , de oplossingsvaardigheden die vereist zijn in andere problemen van de hogere wiskunde. Het materiaal is trouwens allemaal van school, dus het zal niet alleen nuttig zijn voor studenten, maar ook voor studenten. De informatie doet zich natuurlijk niet voor als encyclopedisch, maar hier zijn het geen vergezochte 'dode' voorbeelden, maar geroosterde kastanjes, die zijn ontleend aan echte praktische werken.

Laten we beginnen met de uitdrukkelijke snit in het onderwerp. In het kort over het be> . Het domein van definitie is de set van "X" betekenissen waarvoor er betekenissen zijn van "gamers". Overweeg een voorwaardelijk voorbeeld:

Het bereik van deze functie is de unie van de gaten:
(voor degenen die het vergeten zijn: - associatiepictogram). Met andere woorden, als u een waarde van "X" uit het interval neemt of van of van , dan zal voor elke "X" een betekenis van "spel" zijn.

Grof gezegd, waar is het domein van definitie - er is een grafiek van de functie. En hier is het halve interval en het punt "ce" is niet opgenomen in het definitiegebied, dus daar is geen grafiek.

Ja, trouwens, als iets niet duidelijk is uit de terminologie en / of inhoud van de eerste alinea's, is het beter om terug te keren naar het artikel Grafieken en eigenschappen van elementaire functies .

Hoe bereik je een functie? Veel mensen herinneren zich de kinderkamer: "steen, schaar, papier", en in dit geval kan het veilig worden geherformuleerd: "wortel, breuk en logaritme". Dus als je een breuk, een wortel of een logaritme op je levenspad tegenkomt, moet je meteen heel, heel alert zijn! Tangens, cotangent, arcsine, arccosine komen veel minder vaak voor en we zullen er ook over praten. Maar eerst schetsen uit het leven van mieren:





; Datum toegevoegd: 2015-07-21 ; ; Bekeken: 52539 ; Maakt gepubliceerd materiaal inbreuk op het auteursrecht? | | | | Bescherming van persoonsgegevens | BESTEL JOB


Niet gevonden wat u zocht? Gebruik de zoekopdracht:

Beste uitspraken: Zoals een paar, zei een leraar toen de lezing eindigde - het was het einde van het paar: "Iets ruikt hier naar het einde." 8301 - | | | 7925 - of lees alles ...

Lees ook:

border=0
2019 @ edudocs.fun

Генерация страницы за: 0.02 сек.