border=0

Euklidyske romte

Lit ús in euklidyske romte krije dimensjes . Lit ús ek in metric hawwe wêr - skalare produkt fan fekkers en . Space movement - dit is in bi-aktive transformaasje. plakken it behâld fan 'e ôfstân tusken de fekkers, d. .

Oefening. Is in willekeurige transformation dy't de lingte bewarret?

Theorem. Lit - Beweging, dan wêr - ortogonale transformaasje en - guon fektor. De konversaasje is ek wier.
De bewiis fan dit teorem wie oant no ta mei Linear Algebra.

Besykje in protte - alle romtebewegingen .

Theorem. - groep oangeande de wurking fan 'e gearstalling fan transformaasje.
Bewearing.
                Lit en dan - Beweging wer.
In ienheid-transformaasje is de identiteitfoarming.
De ynverske transformation is .

Besykje in protte - De set fan alle skermen. De formule fan 'e lêste teorem lit sjen dat is in subgroup fan . Besykje ek in protte - de set fan alle ortogonale feroare Dit set sil ek in subgroup wêze .
Troch it earste teorem hat in willekeurige transformaasje de foarm . Yn dit yngong is de fektor unyk bepaald, sûnt . Dêrtroch is de ortogonale ferfoarming definiearre einde. Dizze transformaasje neamd de konversaasje- differinsjaal en wurdt oanjûn troch .
Fan 'e formule fan' e twadde teorem hawwe wy dat i.e. it differinsjaal hat it multiplikative eigendom.

Theorem. Mapping motion syn differinsjaal is in epimorphisme , en de kearn fan dit epimorphisme is .
Bewearing.
                It feit dat dit in homomorphisme fan groepen folget fan 'e multiplikativiteitse eigendom fan' e differinsjaal. As dan Dêrom is dit homomorphisme surrejektyf (dat is it in epimorphisme). De kearn is alle moasjes dy't har differinsjaal is lykwols de identiteitfoarming, d. alle bewegingen fan 'e soarte i.e. in soad skiedsrjochten .

It ûndersyk. en .

Offer .
Bewearing.
                Lit - fektor feroarje , wy ferienigje dizze fektor mei sa'n transformation . Dan, as - fektor feroarje , - fektor feroarje . Dizze mappearing nei in fektorfoarming is bi-aktyf, dus .

Definition Subgroup yn it neamd kristlike grafik as
1) - diskripteare subgroup rang ,
2) - lêste groep.

Wy beskriuwe alle kristallgrafyske groepen yn it twa-dimensionale gefal.

Offer As en dan .
Bewearing.
                Lit - skip troch en - transformaasje mei differinsjaal . Dan dêrom (om't - normaal).

Lit - basis yn (it sil ek in basis wêze yn 'e folsleine lineêre romte ). Yn groep alle ynteger kombinaasjes fan dizze fekkers binne lizze, d. Integer gerrel ûntstien troch dizze fekkers. Mei de eardere oefening bewiisden wy dat de groep oersetten dizze raster yn himsels. Matrix fan in operator integer yn basis i.e. is in integer.
Groep rôp in romgroup .
Groep neamd in puntgroep .

Theorem. Lit en - groep fan ortogonale operators mei determinant (d. befettet allinne oanpaste transformaasje). Dan - szyklike bestellinggroep .
Bewearing.
                Lit - orthogonale basis fan romte en dan is syn matrix . Dêrnjonken binne har fuotprinten - integer. Dêrom i.e. . Wy bepale alle mooglike farianten fan 'e groep. ôfhinklik fan hokker drege draaien yn lizze:


groep draait

groep items

de oarder

1

2

3

4


6

Yn dizze tabel binne net alle matrizen inkel folslein, mar der binne sokke basen (foar elk gefal hat it sels) dat se yn dy matrisses hielal wêze. Bygelyks op 'e basis wêr is de fektor fergelike relatyf yn in hoeke rotaasjewinkelmatrix sil in útsjoch sjen (dan alle matrizen yn 't gefal fan in groep fan oarder 3), en as fergelike relatyf yn in hoeke , dan de rotaasjewinkelmatrix hat it uterlik (dan alle matrizen yn 't gefal fan in groep fan opdracht 6 binne integer).

Theorem. Lit en i.e. yn it Der is in ferkearde transformaasje (transformaasje mei determinant ), dan - ien fan 'e folgjende groepen:
1) ,
2) ,
3) zyklike oardergroup .
Bewearing.
                Lit en . As en dan . - is in refleksje oer in beskate as, dêrtroch de matrix op guon basis hat it formulier mar op elk basis hawwe wy .
Wy hawwe dat wêr . - subgroup fan yndeks 2 yn dêrom en . Want - dit is wer symmetry oer wat achtsje, dan en om't . Dêrtroch is de groep - Dit is in dihedral groep.
Yn it gefal fan Dizze groep feroaret yn in groep .
Yn it gefal fan dit is in szyklik groep fan oarder 2.

Wy litte no sjen hoe't jo dizze opsjes groepen krije kinne. (let basis):
1) as net perpendicular en dan ferskillende lingten dan wêr - sintrale symmetry;
2) as perpendicular en dan ferskillende lingten dan ;
3) as binne perpendiculare en hawwe deselde lingte, dan ;
4) if net learendal, hawwe lykwols lingte en foarmje gjin reguliere trijehoek, dan ;
5) as foarmje in reguliere trijehoek dan .
6) ûndergroups fan dizze groepen binne ek tastien, sadat alle groepen oanjûn wurde troch ús.

It twa-dimensionale gefal is folslein ôfmakke. Der is ek in teorem dy't oantoane dat de oarder fan in finite subgroup yn 'e groep orthogonale matrizen foar elk is beheind by nûmer (yn it gefal fan wy hawwe ), d. sokke groepen finite nûmer foar elk .
Wy jouwe in beskriuwing (sûnder bewiis) fan it trije diminsjoneel gefal:
Lit - finale subgroup yn dan - dit is:
1) fysyske oardergroup ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .





Sjoch ek:

Algebra mei multiplikaasje wurdt Ly algebra neamd

Lofts neistlizzende klasse | Rjochtsjende klok

Abelianske groep yn algebra

Groep G en har normale subgruppen

Homomorphisme | Monomorphisme | Epimorphisme | Isomorphisme | Automorphisme yn algebra

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ edudocs.fun