KOMPLEKS NUMARALAR VE TEMEL ETKİLERİ




İçerik

§1. KOMPLEKS NUMARALAR VE TEMEL ETKİLERİ
§2 KOMPLEKSEL ÜYELİKLERLE KOMPLEKS SAYI SIRASI
§3. KOMPLEKS DEĞİŞKEN FONKSİYONLARI
§4 KOMPLEKS DEĞİŞKEN FONKSİYON SINIRI. SÜREKLİLİK
§5. COSHI-RIMAN'IN KOMPLEKSİ DEĞİŞKEN DURUMUNUN İŞLEVLERİNİN FARKLI OLMASI
§6 KOMPLEKS DEĞİŞKEN FONKSİYONDAN ENTEGRAL
§7. İntegral Cauchy Teoremi. Cauchy Formülü
§8. UNİFORM FONKSİYONEL SERİSİNE BİRLEŞMESİ ABEL'İN KURAMI
§9. ANALİTİK FONKSİYON TAYLOR ARALIĞI
§10. LORAN ROW ISOLATED ÖZEL NOKTALARI
§11. ÖRNEKLER TEMEL TALEP TEORİSİ.
§12. MÜDÜRLÜK ANLAMLARININ TANIMLANMIŞ ENTEGRALLERİN HESAPLANMASI
REFERANSLAR

KOMPLEKS NUMARALAR VE TEMEL ETKİLERİ

Gerçek sayılar üzerindeki en basit cebirsel işlemler bile (negatif bir sayının karekökünü çıkartarak, negatif bir ayırt edici ile ikinci dereceden bir denklem çözme) onu gerçek sayılar kümesinin sınırlarının ötesine getirir. Sayı kavramının bir başka genellemesi de karmaşık sayılara yol açar. Karmaşık sayılar kümesinin dikkat çekici bir özelliği, temel matematiksel işlemlere göre kapanmasıdır. Başka bir deyişle, karmaşık sayılar üzerindeki temel matematiksel işlemler, karmaşık sayılar kümesinden türetilmez.

Karmaşık sayı ( cebirsel formda ) bir ifadedir

nerede - keyfi gerçek sayılar, - duruma göre belirlenen hayali birim .

Sayısı karmaşık sayının gerçek kısmı denir ile gösterilen (Latince " realis " den), sayı karmaşık sayının hayali kısmı denir ve ile gösterilir (Latince " imaginarius " dan).

İki karmaşık sayı ve eğer gerçek ve hayali kısımları eşit ise: . . İki karmaşık sayı eşittir veya eşit değildir (karmaşık sayılar için "daha fazla" ve "daha az" kavramları kullanılmaz).

Sayıya eşlenik eşlenik aranan numara . Açıkçası, karmaşık - eşlenik sayı sayı ile eşleşiyor : .

Aritmetik işlemler. Toplama, çıkarma ve karmaşık sayıların çarpımı, genel cebir kurallarına göre yapılır.

let . . sonra

toplam .

fark .

.

bölüm )

Örnek 1 Karmaşık sayıları ayarla . .

Bulmak için . . .

Karar . ;

;

.

Görev 1 let ve - bir çift karmaşık eşlenik sayı. Toplamlarının gerçek bir sayı olduğunu, farkın hayali bir sayı olduğunu ve ürünün gerçek bir negatif olmayan sayı olduğunu gösterin.


border=0


Örnek 2 Bulmak için . .

Karar . ; .

.

Not. Sayı dereceleri tablo olarak gösterilebilir

Örnek 3. Sayıları çarpın ve .

Karar .

Örnek 4. Hesapla a) ; b) ; c) .

Karar .

a) Fark karesini açın:

.

b) Toplam küpü açın:

.

c) Newton'un binomuna göre :

.

Olarak kabul edilebilir: .

Örnek 5. Bölüm bul eğer .

Karar .

.

Örnek 6. a) hesaplayın b) .

Karar . a) .

b) .

hatırlayalım:

Karmaşık bir sayının geometrik yorumu.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi düşünün. Gerçek ekseni x ekseni üzerine koyun karmaşık sayı ve y ekseninde - hayali kısmı . Koordinatlarla puan kazan . Dahası, her karmaşık sayı uçağın bir noktasına karşılık gelir. Tersi doğrudur: her nokta uçaklara karmaşık bir sayı atanabilir kimin asıl kısmı nokta abscissa ve hayali kısma eşit koordinat noktasına eşit. Böylece, düzlemin karmaşık sayıları ve noktaları arasında bire bir yazışmalar kurulur. (Daha önce gerçek sayılar ve sayı satırının noktaları arasında bire bir yazışmalardan bahsettik).

Noktaları karmaşık sayıları temsil eden düzleme, karmaşık düzlem denir . Onu sağ üst köşedeki gerçek düzlemden ayırmak için mektubu yazın. Daire içinde. Böyle bir düzlem üzerindeki abscissa eksenine gerçek eksen, ordinat eksenine hayali eksen denir. Karmaşık eşlenik sayı, verilen bir sayının gerçek eksenle ilgili ayna görüntüsüdür. Kökene boş nokta denir. Karmaşık bir sayının koordinatların orijinden uzaklığına bu sayının modülü denir:



.

Problem 2. Bunu kanıtla .

İki karmaşık sayının farkının modülü, karşılık gelen noktalar arasındaki mesafedir:

.

Karmaşık düzlemin her noktasına, bir noktayı sıfır noktasındaki orijin ve bu noktadaki son ile ilişkilendiririz. Açıkçası, bu yazışma birebir. Bu yorumda, karmaşık sayının gerçek ve hayali kısımları, vektörün birinci ve ikinci bileşenleridir. toplam şimdi, vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın köşegeniyle temsil edilir. ve fark olarak anlaşıldı . Karmaşık bir sayının modülü bir vektörün uzunluğudur. Geometrik olarak açık, karmaşık düzlemdeki üçgen eşitsizliğidir : .

Örnek 7. Bunun için karmaşık düzlemdeki noktaların konumunu belirleyin

a) ; b) ;
c) ; g) .

Karar . a) Beri Daha sonra verilen çift eşitsizliği şu şekilde yeniden yazılabilir: . Dikey bir çubuğum var.

b) Beri , sonra verilen çift eşitsizliğini şu şekilde yeniden yazarız: . Yatay bir çubuk var. Görevler c) ve d) bağımsız olarak çözülür.

Örnek 8. a) karmaşık düzlemdeki noktaların konumunu belirleyin ; b) ; c) .

Karar . a) Karmaşık bir sayının modülü Vektörün uzunluğu sıfır noktadan noktaya mı gidiyor , Yani orijinden noktaya uzaklık . Yani durumunda Kökenden eşit olan bir düzlemde noktaların geometrik konumlarından bahsediyoruz - bu bir çemberdir (bu durumda çemberin yarıçapı 1'dir). Sorunu Kartezyen koordinatlarının diline çevirmek mümkündü:

.

b) Burada, yarıçap dairesi dışındaki noktaların geometrik konumlarından bahsediyoruz. (baş>

c) Noktalar yarıçap daireleri arasındaki halkadadır ve .

Örnek 9. Karmaşık düzlemdeki noktaların konumunu belirleyin, bunun için a) ; b) ; c) .

Karar . a) fark modülü Nokta arasındaki mesafe karmaşık düzlem ve nokta 1. Yani, nokta 1'den eşit olan (1 mesafesindeki) noktaların geometrik konumlarından bahsediyoruz, nokta (1; 0) 'da ortalanmış yarıçapı 1 olan bir dairedir. Koordinatların dilinde:

.

b) Puanlar aynı anda daire şeklindedir. baş> merkezi noktada kaymıştır : .

c) Bunlar sağ yarım düzlemin noktalarıdır bir çemberin içinde yatmak : .

:

Karmaşık bir sayının trigonometrik formu. Karmaşık sayı argümanı görüşme açısı hangi bir vektör oluşturur gerçek eksenin pozitif yönü ile . Bu açı belirsiz:

.

burada - Argümanın ana değeri, eşitsizliklerle vurgulanır (diğer bir deyişle karmaşık düzlemde, asıl solundaki gerçek eksen boyunca bir kesim yapılır).

İlk sütunda sayı için belirtilen gerçek veya hayali eksende ve ikinci sütunda yatan - diğer tüm karmaşık sayılar için.

belirtmek . Gibi . o zaman karmaşık sayı trigonometrik biçimde gösterilebilir :

.

İki karmaşık sayı ve trigonometrik formda verilir

. .

Argümanın belirsizliği sayesinde, eğer ve . .

Örnek 10. Modülleri ve argümanları ve ayrıca karmaşık sayı argümanlarının ana değerlerini bulun. . Her birini trigonometrik biçimde yazın.

Karar . Tüm bu sayıların modülleri aynıdır:

.

Her sayının argümanı, karşılık gelen noktanın bulunduğu çeyreği dikkate alarak bulunur.

1) Nokta sonra ilk çeyrekte yatar

.

Trigonometrik formda burada sayılır - kosinüs ve sinüs frekansı.

2) Nokta sonra ikinci çeyrekte yatar

.

.

3) Nokta üçüncü çeyrekte yatar

.

.

.

4) Nokta dördüncü çeyrekte yatar

.

.

.

Kompleks sayıların trigonometrik formda çarpımı ve bölünmesi. Sayıları ve trigonometrik formda verilmiştir: . . Onları çarpın:

.

İki açının toplamının kosinüs ve sinüs formüllerini hatırlatarak,

. (1)

Karmaşık sayıları çarparken modüllerinin çarpıldığını ve argümanların eklendiğini görüyoruz. Bu işlemin geometrik anlamı: sayıları temsil etmek ve sıfır noktadan kaynaklanan karmaşık düzlemde vektörler görüyoruz ki, vektör vektörden elde edilen "Germe" in bir kez ve dönüş açısı .

Özel olarak formülü alırız:

. (2)

Örnek 11. Ürünü ve sayıların sayısını bulun

ve .

Karar . Formül (1) uyarınca şunu yazıyoruz:

.

Bu sayıları cebirsel biçimde çarparak sonucu kontrol edin:

.

(2) formülü ile bulduk

.

Cebirsel formda bu işlem şöyle yazılacaktır:

.

Bir güce karmaşık bir sayı yükseltme. Formül (1) 'den üstelleşmeyi izler. karmaşık sayı kural tarafından üretildi

. (3)

Örnek 12. Hesapla 1) ; 2) .

Karar . 1) Yukarıda, karmaşık bir sayının kaydı var trigonometrik formda: . Formül (3) ile bulduk . Aynı sonuç, yukarıda örnek 4c) 'de Newton binomiyal kullanılarak elde edildi.

2) Her şeyden önce, sayıyı temsil edelim trigonometrik biçimde.

. .

nokta dördüncü çeyrekte yatar . bu nedenle

.

(3) formülünü kullanmak için kalır:

.

Fark küpünü açığa çıkarırsak, aynı sonucu elde ederiz (kontrol edin!).

en formül (3) , Moivre formülüne dönüşür:

. (4)

Yardımlarıyla, çok açılı sinüs ve kosinüslerin eksprese edilmesiyle ilişkiler kolayca elde edilir. ve .

Örnek 13. Express ve içinden ve .

Karar . Moivre formülünü koymak , anlıyoruz:

.

Solda, toplam küpü aç ve benzer üyeleri topla:

.

Burada dikkate alınır . Cebirsel formda iki karmaşık sayının eşitliğine geldik.

.

bu, sadece bu sayıların gerçek ve hayali kısımları eşit olduğunda geçerlidir.

Parçaların eşitliği verir ;

hayali parçaların eşitlenmesi, .

Bir kökü karmaşık bir sayıdan çıkarmak. Eğer karmaşık sayılar ve ile ilgili sonra . Sayıları düşünün ve trigonometrik formda:

. .

Bunu burada varsayacağız - argüman sayılarının ana değeri .

Görevimiz verilen numara için (yani, bilinen ve ) tanımla (Yani ve ). Formül (3) uyarınca eşitlik olarak yazılmış

.

İki karmaşık sayının eşitliğinden, trigonometrik formda şöyle:

.

burada - kök Negatif olmayan bir sayının gücü. Kök için karmaşık bir sayının gücü formülü al

. (5)

Sürekli olarak varsaymak biz elde farklı anlamlar :

.

.

.

Bütün bu kökler aynı modüllere sahiptir. , Yani karşılık gelen noktalar yarıçap dairesinde bulunur kökeni merkezli. İki bitişik kök argümanı açıya göre değişir . Yani tüm kök değerleri karmaşık bir sayının gücü sağ üstte - yarıçapı bir daire içinde yazılı .

Örnek 14. Tüm kök değerlerini bulun karmaşık bir sayının gücü ve eğer varsa bunları karmaşık düzlemde çizin.

1) , 2) , 3) , 4) .

Karar . 1) Öncelikle, modülü ve karmaşık sayının argümanını buluruz. : . İçin formül (5) formu al

.

nereden .

.

.

makas birim yarıçapı bir daire içine yazılmış normal bir üçgenin köşelerinde, bir kök gerçek bir sayıdır. İki bitişik noktanın argümanları açıya göre değişir . Unutmayın .

2) burada : bu yüzden

.

nereden .

.

.

makas Bir daireye yazılan normal bir üçgenin köşelerinde kök gerçek bir sayıdır. Unutmayın . Aldığınız Pr.12.2'nin sonucuyla karşılaştırın. , Yani .

3) burada : ve at

.

nereden .

.

4) burada ve at

, bu yüzden iki sayı alıyoruz:

. .

hatırlayalım: .

Görev 3. Görevlerin yerine getirilmesi pr.14, eğer 1) , 2) .

Örnek 15. Doğrusal üçlü terimin doğrusal faktörlere ayrıştırılması.

1) ; 2) .

Karar . 1) İkinci dereceden denklemi göz önünde bulundurun . Ayrımcı . Yani gerçek kök yok. Pr.44.4’ten itibaren . Ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüle göre . Alınan iki karmaşık eşlenik kök ve . Bulunan köklere göre, kare trinomiali doğrusal faktörlerde parçalayabiliriz:

.

2) İkinci dereceden denklemi göz önünde bulundurun . Ayrımcı Gerçek kök yok. Pr.44.4’ten itibaren . Ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüle göre . Alınan iki karmaşık eşlenik kök ve . Bulunan köklere göre, kare trinomiali doğrusal faktörlere ayrıştırırız:

.

Gerçek katsayıları olan ikinci dereceden bir denklemin bir çift karmaşık eşlenik kökü olduğuna dikkat çekeriz .

Görev 4. Doğrusal faktör genişlemelerinin doğru olduğundan emin olun.

; ; .

Karmaşık bir sayının üstel formu. Euler formülü (daha sonra ispatlanacak) :

, (6)

üstel biçimde karmaşık bir sayı yazmanıza izin verir :

nerede .

Euler'in formülünden ve - Sinüs ve kosinüsün frekansı şöyle olmalıdır:

.

dolayısıyla, , Yani .

Örnek 16. Sayılar üstel biçimde yazınız.

Karar . Örnek 10 bulundu .

. . .

. . . . ?

İlişkilerin geçerliliğini doğrulamak kolaydır:

Bu ilişkileri, trigonometrik formda karmaşık sayıların gücüne çarpma, bölme ve yükseltme kuralları ile karşılaştırın.

Örnek 17. Karmaşık sayıları karşılaştırın. ve .

Karar. Pr.16'dan: . Sayıları var ve modüller eşittir. Sayıyı vurgulama çoklu dönem temsil ettiğimiz şeklinde çarpan olarak . dolayısıyla, .





; Eklenme Tarihi: 2015-05-13 ; ; Görünümler: 82,808 ; Yayımlanan materyal telif hakkını ihlal ediyor mu? | | Kişisel Verilerin Korunması | SİPARİŞ ÇALIŞMASI


Aradığınızı bulamadınız mı? Aramayı kullanın:

En iyi sözler: Bir öğrenci için en önemli şey sınavı geçmek değil, zamanla hatırlamaktır. 8856 - | 6709 - veya hepsini oku ...

Ayrıca bakınız:

border=0
2019 @ edudocs.fun

Sayfa oluşturma: 0,046 sn.