Kompleksnummers en aksjes oer dyselde




Ynhâld

§1. Kompleksnummers en aksjes oer dyselde
§2 SEQUENZ OF COMPLEX NUMERS mei SERIES MIT COMPLEX MEMBERS
§3. FUNCTIONS OF COMPLEX VARIABLE
§4 LIMIT FAN KOMPLEXE FERLIEF FUNCTION. CONTINUITY
§5. DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS OF THE COMPLETE VARIABLE CONDITION OF COSHI-RIMAN
§6 INTEGRAL FROM COMPLEX VARIABLE FUNCTION
§7. Integrale Cauchy-teorie. Cauchy Formula
§8. EQUAL CONVERGENSE FAN FUNCTIONALE SERIES ABEL 's Theorem
§9. TAYLOR RANGE fan ANALYTICAL FUNCTION
§10. ROW LORAN ISOLATED SPEZIELLE POINTS
§11. DEDUCTIONS BASIC DEMAND TEOREM.
§12. BILDING FAN FERGEARDE INTEGRALS BY MEINS OF DEDUCTIONS
LITERATURE

Kompleksnummers en aksjes oer dyselde

Sels de ienfâldige algebraike operaasjes op echte nûmers (it útfieren fan 'e fjouwerkantwurden fan in negatyf nûmer, it liede fan in kwadratyske lykweardigens mei in negative diskriminator) bringt it oer de grinzen fan' e set fan echte nûmers. In fierdere generalisearring fan it begryp fan nûmer liedt ta komplekse nûmers. In opmerklike eigendom fan 'e komplekse nûmers is syn tichtens by de basis mathematyske operaasjes. Mei oare wurden, basiidsmathematyske operaasjes op komplekse nûmers binne net ôflaat fan 'e set fan komplekse nûmers.

Kompleks nûmer ( yn algebraike foarm ) is in útdrukking

wêr - willekeurige echte nûmers, - imaginêre ienheid fêststeld troch kondysje .

Oantal fan neamd it echte diel fan in kompleks nûmer neamd (fan 'e Latynske " realis "), nûmer neamde it imaginêre diel fan in kompleks nûmer en wurdt oanjûn troch (fan it Latyn " imaginarius ").

Twa komplekse nûmers en binne gelyk as en allinich as har echte en imaginêre dielen lykweardich binne: , . Twa komplekse nûmers binne lykweardich of net lyk (de begripen fan "mear" en "minder" foar komplekse nûmers binne net ynfierd).

Kompleks konjugat it nûmer neamd nûmer . Fansels is it kompleks - konjugataal oantal komt oerien mei it nûmer : .

Arithmetyske operaasjes. Oanfolling, subtraktyk en multiplikaasje fan komplekse nûmers wurde neffens de gewoane regels fan algebra útfierd.

Lit , . Dan

bedrach fan ,

ferskil ,

it wurk ,

quotient (mei )

Foarbyld 1 Set komplekse nûmers , .

Te finen , , .

It beslút . ;

;

.

Task 1 . Lit en - in pear komplekse konjugatele nûmers. Lit sjen dat har sum is in echte nûmer, it ferskil is in imaginêre nûmer, en it produkt is in echte net-negative getal.


border=0


Foarbyld 2 Te finen , .

It beslút . ; .

,

Remark Graden fan nûmer kinne as in tafel fertsjintwurdige wurde

Foarbyld 3. Multiply nûmers en .

It beslút .

Foarbyld 4. Ferkearje a) ; b) ; c) .

It beslút .

a) Iepenje it ferskillenplein:

.

b) Iepenje de sommige kub:

.

c) Neffens Newton's binomial :

.

It kin wurde beskôge as: .

Foarbyld 5. Fyn privee as .

It beslút .

.

Foarbyld 6. Ferkearje a) , b) .

It beslút . a) .

b) .

Tink derom:

Geometryske ynterpretaasje fan in kompleks getal.

Besykje in Kartesyske rechtekse koördinearjende systeem. Set it echte diel op 'e abscissa-as kompleks nûmer , en op 'e y-as - syn imaginêre diel . Krij in punt mei koördinearjen . Dêrneist wurde elke kompleks nûmer komt oerien mei ien punt fan it fleantúch. It tsjinoerstelde is wier: elke punt Flugingen kinne in kompleks getal oantsjutte wurde hokker echte diel is lykweardich oan 'e punt fan' e abszisse, en it yn imaginêre diel lykas it ordinatenpunt. Sa wurdt in oerienkomst tusken ien fan 'e komplekse nûmers en punten fan it fleantúch fêststeld. (Earder sprieken wy oer in ien-oan-ien korrespondinsje tusken echte nûmers en punten fan de nûmerline).

In fleantúch, waans punten kompleet nûmers fertsjintwurdigje, is in komplekse fleantúch . Om it te ûnderskieden fan it echte fleantúch yn 'e boppeste rjochtshoeke skriuw de brief circled. De abscissa-achts op sa'n plan, hjit de echte as, en de ordinateach as de imaginêre as. It komplekse konjugatûmer is it spegelbyld fan in gegevens kompleks nûmer oer de echte as. De komôf wurdt in nul punt neamd. De ôfstân fan in kompleks getal út 'e komôf fan koördinearjen wurdt de modul fan dit nûmer neamd:



.

Problem 2. Bewearje dat .

De modulus fan it ferskil fan twa komplekse getallen is de ôfstân tusken de oerienkommende punten:

.

Oan elke punt fan 'e komplekse fleantún sette wy in fektor mei in begjin op it nulpunt en in ein oan dat punt. Fansels is dizze korrespondinsje ien-ien. Yn dizze ynterpretaasje binne de echte en imaginêre dielen fan it kompleks getal de earste en twadde komponinten fan 'e fektor. Beleanne is no fertsjintwurdige troch de diagonaal fan in parallelogramm op brukt en ferskil fersteane as . De modul fan in kompleks getal is de lingte fan in fektor. Geometrysk dúdlik is de trijehoek-dislike yn 'e komplekse fleantúch: .

Foarbyld 7. Jouwe de lokaasje fan punten op it komplekse fleantúch foar wêrfoar

a) ; b) ;
c) ; d) .

It beslút . a) sûnt dan kin de opjûne dûbele inkelgong yn 'e foarm skreaun wurde: . Hast in fertikale bar.

b) sûnt dan skriuwt de gegevens dûbele inkwaliteit yn 'e foarm: . Hast in horizontale bal. Taken c) en d) selsstannich oplosse.

Foarbyld 8. Stel de lokaasje fan punten op it komplekse fleantúch foar dêr't in a) ; b) ; c) .

It beslút . a) Modul fan in kompleks getal Is de lingte fan 'e fektor ôf fan nul punt nei punt i.e. ôfstân fan komôf oant punt . Dus yn it gefal fan Wy prate oer de geometryske lizzing fan punten op in fleantigens fan 'e oarsprong - dit is in sirkel (yn dit gefal is de radius fan' e sirkel 1). It wie mooglik it probleem yn 'e taal fan' e Kartesianske koördinaasjes te oersette:

.

b) hjir sprekke wy oer de geometryske lokaasje fan punten bûten it sirkwy fan radius (midden yn 'e oarsprong).

c) de punten binne yn 'e ring tusken de rûningen en .

Foarbyld 9. Jouwe de lokaasje fan punten op it komplekse fleantúch foar wêr't a) ; b) ; c) .

It beslút . a) ferskilmodul Is de ôfstân tusken it punt komplekse fleantúch en punt 1. Sa sprekke wy oer de geometryske lizzing fan punten lykwichtig (by ôfstân 1) fan punt 1, in rûnte fan radius 1 sintraal op it punt (1; 0). Yn 'e taak fan koördinearren:

.

b) Punten binne tagelyk yn in sirkel midden yn 'e oarsprong en yn in sirkel sintraal : .

c) Dit binne punten fan 'e krekte heule fleanmasine lyn yn in sirkel : .

:

Trigonometrische foarm fan in kompleks getal. Kompleks nûmer argumint oantsjutting dy't in fektor makket mei de positive rjochting fan 'e echte as, . Dizze hoeke wurdt bepaald bepaald:

.

Hjir - de haadwearde fan it argumint, wurdt bepaald troch ûngelikens (d.e., op it komplekse fleantúch, wurdt in snoei oan 'e echte as nei de linker fan' e oarsprong makke).

Yn 'e earste kolom foar it getal pleatst lei op 'e echte of imaginêre as, en yn' e twadde kolom - foar alle oare komplekse nûmers.

Denote . Dus as , , dan kin it kompleks getal yn trigonometrysk foarm fertsjintwurdige wurde:

.

Twa komplekse nûmers en yn trigonometryk formulier jûn

, ,

Troch de ambysje fan it argument binne lykwols as en allinich as , .

Foarbyld 10. Sykje de modules en arguminten, lykas de wichtichste wearden fan 'e arguminten fan komplekse nûmers . Skriuw elk yn trigonometrysk foarm.

It beslút . De modules fan al dizze nûmers binne deselde:

.

It argumint fan elke nûmer is fûn, mei it rekken fan it fjirde plak dêr't de oerienkommende punt leit.

1) Punt leit yn it earste fearnsjier dan

.

Yn trigonometryske foarm rekkene hjir - de frekwinsje fan kosinus en sin.

2) Punt leit yn it twadde fearnsjier dan

,

.

3) Punt leit yn it tredde fjild dan

,

.

.

4) Punt leit yn it fjirde fearnsjier dan

,

.

.

Multiplikaasje en ôfdieling fan komplekse nûmers yn trigonometryske foarm. Lit de nûmers en yn trigonometric form ynsteld: , . Multiply them:

.

Ynleverjen fan de formulas foar de kosinus en sinne fan 'e summa fan twa hoeken, komme wy

. (1)

Wy sjogge dat by it komplekjen fan komplekse nûmers har modules multiplisy wurde, en de arguminten wurde tafoege. Geometrysk betsjutting fan dizze operaasje: fertsjinwurdigje fan nûmers en Vektors op 'e komplekse fleantúch út' e nul-punt, sjogge wy dat de fektor krigen fan fektor "Stretching" yn ien kear en wikseling .

Foar privee krije wy de formule:

. (2)

Foarbyld 11. Sykje it produkt en quotient fan nûmers

en .

It beslút . Neffens de formule (1) skriuwe wy:

.

Kontrolearje it resultaat troch it multiplisynjen fan dizze nûmers yn algebraike foarm:

.

Troch de formule (2) fine wy

.

Yn algebraike foarm sil dizze operaasje skreaun wurde as:

.

It opnimmen fan in kompleks getal nei in krêft. Fan formule (1) folget de eksponintaasje kompleks nûmer makke troch regel

. (3)

Foarbyld 12. Ferkearde 1) ; 2) .

It beslút . 1) Boppe ús krigen wy in rekord fan in kompleks nûmer yn trigonometryske foarm: . Troch de formule (3) fine wy . Itselde resultaat waard boppe yn bygelyks 4c te krijen mei de Newton binomial.

2) Foar it lêst lit ús it nûmer fertsjintwurdigje yn trigonometryske foarm.

, ,

it punt leit yn it fjirde fearnsjier dan . Dêrom

.

It bliuwt om de formule (3) te brûken:

.

Ferjouwing it ferskil cube, krije wy itselde resultaat (check!).

Mei Formule (3) feroaret yn 'e formule fan Moivre :

. (4)

Mei har help kinne relaasjes goed te krijen hawwe de sines en kosines fan meardere winkels út te ekspresjen en .

Foarbyld 13. Express en troch en .

It beslút . Putting yn 'e formule fan Moivre , krije wy:

.

Op 'e lofterkant iepenje de sûkerblokje en sammele ferlykbere leden:

.

Hjir is it rekken holden dat . Wy kamen ta de gelikensens fan twa kompleks nûmers yn algebraike foarm.

,

dat is wier as en allinich as de echte en imaginêre dielen fan dizze nûmers binne lykweardich.

De gelikensens fan dielen jout ;

lykas fermogende dielen, we krije .

It útfieren fan in root út in kompleks getal. As komplekse nûmers en ferbûn troch dan . Stel dan de nûmers en yn trigonometryske foarm:

, .

Wy sille hjirmei útsette - de wichtichste wearde fan 'e arguminten nûmers .

Us taak is foar in bepaald nûmer (d. troch bekend en ) definieare (d. en ). Yn oerienstimming mei de formule (3) gelikensens skreaun yn

.

Fan 'e gelikensens fan twa komplekse nûmers yn trigonometryske foarm folget:

.

Hjir - root -e krêft fan in echte non-negative nûmer. Dus foar root -e macht fan in kompleks getal krije de formule

. (5)

Asjebleaft konsekwint krije ferskillende betsjuttingen :

,

,

.

Alle dizze woartels hawwe deselde modules. i.e. Korrespondinte punten binne lizzend op in sirkel fan radius rjochte op 'e oarsprong. Arguminten fan twa neistlizzende woartels ferskille troch winkel . Dus alle rootswearden -e macht fan in kompleks getal binne boppe oan 'e rjochter - ynskreaun yn in sirkel fan radius .

Foarbyld 14. Sykje alle rootwurden -e macht fan in kompleks getal en tekenje se op it komplekse fleantúch as

1) , 2) 3) 4) .

It beslút . 1) Earst fynt it modul en it argumint fan it kompleks nûmer : . Formule (5) foar nim it formulier

,

fan wêr ,

,

.

Punten binne by de rintiten fan in regelmjittich trije ynskreaun yn in sirkel fan ienheidradius, ien root is is in echte nûmer. Arguminten fan twa neistlizzende punten ferskine troch winkel . Notysje dat .

2) hjir : dat is dêrom

,

fan wêr ,

,

.

Punten binne by de hoeken fan in regelmjittich trije ynskreaun yn in sirkel Wurzel is in echte nûmer. Notysje dat . Fergelykje mei it resultaat fan Pr.12.2, wêr't jo krigen hawwe i.e. .

3) hjir : en by

,

fan wêr ,

.

4) hjir en by

, wylst wy twa nûmers krije:

, .

Tink derom: .

Task 3. Fiere taken pr.14, as 1) , 2) .

Foarbyld 15. Ferfalle de fjouwertal trije lineêre faktoaren

1) ; 2) .

It beslút . 1) Besjoch de kwadratyske lykweardigens . Syn diskriminaasje . Dêrom binne der gjin echte woartels. Fan 14.14 ôf folget dat . Neffens de formule foar de woartels fan in kwadratyske lykweardigens . Oanpast twa komplekse konjugaasde root en . Yn oerienstimming mei de fûnen fûnen kinne wy ​​it fjouwerkant trinomial yn lineêre faktoaren ferneatigje:

.

2) Besjoch de kwadratyske lykweardigens . Syn diskriminaasje , binne der gjin echte woartels. Fan 14.14 ôf folget dat . Neffens de formule foar de woartels fan in kwadratyske lykweardigens . Oanpast twa komplekse konjugaasde root en . Yn oerienstimming mei de fûnen fûnen wy it fjild trinomial yn lineêre faktoaren:

.

Wy tekenje omtinken foar it feit dat in kwadratyske lykweardigens mei echte koeffizienten in pear komplekse konjugaaste woartels hat .

Task 4. Pasjineare dat linearer faktor-útwreidingen wier binne.

; ; .

De eksponinsjele foarm fan in kompleks getal. Euler's formule (letter wurde bewiisd) :

, (6)

lit jo in kompleks getal yn 'e yndrukke foarm skriuwe :

wêr .

Fan Euler's formule en út - de frekwinsje fan sinus en kosine moat wêze:

.

Dus i.e. .

Foarbyld 16. Nûmers skriuwe yn eksponentiale foarm.

It beslút . Yn bygelyks 10 fûn ,

, , ,

, , , . ?

It is maklik om de jildigens fan 'e relaasjes te kontrolearjen:

Fergelykje dy relaasjes mei de regels fan ferdieling, ôfdieling en opheffing nei de krêft fan komplekse nûmers yn trigonometryske foarm.

Foarbyld 17. Fergelykjen komplekse getallen. en .

It beslút. Fan pr.16: . Hawwe nûmers en modules binne gelikense. Markearje yn nûmer mearder term prate yn 'e foarm fan as multiplier . Dus .





; Datum tafoege: 2015-05-13 ; ; Views: 84546 ; Is it publisearre materiaal it urheberrecht? | | Persoanlike data beskerming | ORDER WORK


Hast net fûn wat jo sochten? Brûk it sykjen:

De bêste wurden: Mar wat matem binne jo, as jo sels net korrekt wachtwurd kinne? 7669 - | 6682 - of alles lêze ...

Sjoch ek:

border=0
2019 @ edudocs.fun

Sidejager generaasje foar: 0.048 sek.