Sosyal olarak paylaşın. ağlar:


KOMPLEKS NUMARALAR VE ÜZERİNDE EYLEMLER




içerik

§1. KOMPLEKS NUMARALAR VE ÜZERİNDE EYLEMLER
§2 KOMPLEKSİ ÜYELERLE KOMPLEKS NUMARALARIN SIRASI
§3. KOMPLEKS DEĞİŞKEN FONKSİYONLARI
§4 KOMPLEKS DEĞİŞKEN FONKSİYONU SINIRI. SÜREKLİLİK
§5. COSHI-RIMAN KOMPLEKS DEĞİŞKENLİĞİNİN FONKSİYONLARININ FARKLILIKLARI
§6 KOMPLEKS DEĞİŞKEN FONKSİYONUNDAN BÜTÜNLEŞTİRİLMİŞ
§7. İntegral Cauchy Teoremi. Cauchy Formülü
§8. FONKSİYONEL SERİSİNİN UNIFORM DÖNÜŞÜMÜ ABEL'İN TEOREMİ
§9. ANALİTİK FONKSİYONUN TAYLOR SERİSİ
§10. LORAN SERİSİ İZOLELİ ÖZEL NOKTALAR
§11. TALİMATLAR TEMEL TALEP TEOREMİ.
§12. DEDEKTİFLERİN TARAFINDAN BELİRLENEN İNTEGRALLARIN HESAPLANMASI
REFERANSLAR

KOMPLEKS NUMARALAR VE ÜZERİNDE EYLEMLER

Gerçek sayılardaki en basit cebirsel işlemler bile (negatif sayının karekökünün çıkarılması, ikinci dereceden bir denklemin negatif bir diskriminant ile çözülmesi) onu gerçek sayılar kümesinin sınırlarının ötesine getirir. Sayı kavramının daha da yaygınlaştırılması karmaşık sayılara yol açar. Karmaşık sayılar kümesinin dikkate değer bir özelliği, temel matematiksel işlemlere olan yakınlığıdır. Başka bir deyişle, karmaşık sayılardaki temel matematiksel işlemler karmaşık sayı kümesinden türetilmez.

Karmaşık sayı ( cebirsel formda ) bir ifadedir

nerede - keyfi gerçek sayılar, - Koşullara göre belirlenen hayali birim .

Sayısı karmaşık bir sayının gerçek kısmı denir tarafından belirtilmiş (Latince " realis "), sayı karmaşık bir sayının hayali kısmı denir ve tarafından gösterilir (Latince " imaginarius " dan).

İki karmaşık sayı ve ve eğer gerçek ve hayali parçaları eşitse eşittir: . . İki karmaşık sayı eşittir veya eşit değildir (karmaşık sayılar için "daha fazla" ve "daha az" kavramları kullanılmaz).

Sayıya karmaşık eşlenik aranan numara . Açıkçası, karmaşık - konjuge sayı sayıyla eşleşir : .

Aritmetik işlemler. Kompleks sayıların toplanması, çıkarılması ve çoğaltılması, her zamanki cebir kurallarına göre gerçekleştirilir.

let . . sonra

toplam .

fark .

.

bölüm (ile )

Örnek 1 Karmaşık sayıları ayarla . .

Bulmak için . . .

Karar . ;

;

.

Görev 1 . let ve - Bir çift karmaşık eşlenik sayı. Toplamlarının gerçek bir sayı olduğunu, farkın hayali bir sayı olduğunu ve ürünün gerçek bir negatif olmayan sayı olduğunu gösterin.




Örnek 2 Bulmak için . .

Karar . ; .

.

Not. Sayı dereceleri bir tablo olarak temsil edilebilir

Örnek 3. Çarpıcı sayılar ve .

Karar .

Örnek 4. a) a) hesaplayın ; b) ; c) .

Karar .

a) Fark karesini açın:

.

b) Toplam küpü açın:

.

c) Newton'un binomuna göre :

.

Aşağıdaki gibi düşünülebilir: .

Örnek 5. Özel bul eğer .

Karar .

.

Örnek 6. a) hesaplayın , b) .

Karar . a) .

b) .

hatırlayalım:

Karmaşık bir sayının geometrik yorumu.

Kartezyen bir dikdörtgen koordinat sistemi düşünün. Gerçek kısmı absis eksenine koy karmaşık sayı ve y ekseninde - hayali parçası . Koordinatlarla bir noktaya gelin . Ayrıca, her karmaşık sayı düzlemin bir noktasına karşılık gelir. Tam tersi: her nokta uçaklar karmaşık bir sayı atanabilir kimin gerçek kısmı apsis noktasına ve hayali parçaya eşit ordinate noktasına eşit. Böylece, karmaşık sayılar ve düzlem noktaları arasında bire bir yazışma kurulmaktadır. (Daha önce gerçek sayılarla sayı çizgisinin noktaları arasındaki bire bir yazışma hakkında konuştuk).

Noktaları karmaşık sayıları temsil eden bir düzlem karmaşık bir düzlem olarak adlandırılır . Sağ üst köşedeki gerçek düzlemden ayırt etmek için mektubu yazınız. Daire içinde. Böyle bir düzlemde apsis eksenine gerçek eksen denir ve ordinat ekseni hayali eksen olarak adlandırılır. Karmaşık eşlenik sayı, gerçek eksen hakkında belirli bir karmaşık sayının ayna görüntüsüdür. Orijine null noktası denir. Karmaşık bir sayının koordinatların orijinine uzaklığı bu sayının modülü olarak adlandırılır:



.

Sorun 2. Bunu kanıtlayın .

İki karmaşık sayının farkının modülü, karşılık gelen noktalar arasındaki mesafedir:

.

Karmaşık düzlemin her bir noktasına bir vektörü sıfır noktasında bir baş> Açıkçası, bu yazışma bire birdir. Bu yorumda, karmaşık sayının gerçek ve hayali parçaları, vektörün birinci ve ikinci bileşenleridir. toplam şimdi vektörler üzerine inşa edilen bir paralelkenarın diyagonaliyle temsil edilir ve fark olarak anlaşıldı . Karmaşık bir sayının modülü, bir vektörün uzunluğudur. Geometrik olarak belirgin olan, karmaşık düzlemde üçgen eşitsizliğidir : .

Örnek 7. Karmaşık düzlem üzerindeki noktaların yerini belirleyin.

a) ; b) ;
c) ; g) .

Karar . a) beri Daha sonra verilen çift eşitsizlik formunda yeniden yazılabilir: . Dikey bir şerit aldım.

b) Beri sonra verilen çift eşitsizliği yeniden yazınız: . Yatay bir bar var. Görevler c) ve d) bağımsız olarak çözülür.

Örnek 8. Aşağıdakiler için karmaşık düzlem üzerindeki noktaların yerini belirtiniz a) ; b) ; c) .

Karar . a) Karmaşık bir sayının modülü Sıfır noktasından noktaya giden vektörün uzunluğu , Yani baş> . Yani durumunda Kökten eşit uzaklıkta olan bir düzlemde noktaların geometrik konumu hakkında konuşuyoruz - bu bir çember (bu durumda çemberin yarıçapı 1'dir). Sorunu Kartezyen koordinatların diline çevirmek mümkündü:

.

b) Burada, yarıçap dairesinin dışındaki noktaların geometrik konumu hakkında konuşuyoruz. (orijin merkezli).

c) noktalar yarıçap daireler arasındaki halkadadır ve .

Örnek 9. Aşağıdakiler için karmaşık düzlem üzerindeki noktaların yerini belirleyin. A) ; b) ; c) .

Karar . a) fark modülü Nokta arasındaki mesafe mi Kompleks düzlem ve nokta 1. Yani, nokta 1'den eşdeğer noktaların (mesafe 1) geometrik konumu hakkında konuşuyoruz, nokta (1; 0) merkezli bir yarıçap 1 daire. Koordinatların dilinde:

.

b) Puanlar aynı anda bir daire içinde kökeni ve bir çevrede merkezlenmiş merkezi noktada kaymıştır : .

c) Bunlar sağ yarı düzlemin noktalarıdır bir daire içinde yalan : .

:

Karmaşık bir sayının trigonometrik şekli. Karmaşık argüman arama açısı bir vektör oluşturan gerçek eksenin pozitif yönü ile, . Bu açı belirsiz olarak belirlenir:

.

burada - argümanın ana değeri, eşitsizlikler tarafından vurgulanır (yani, orjinin solundaki gerçek eksen boyunca karmaşık düzlem üzerinde bir kesim yapılır).

İlk sütunda numara için belirtildi gerçek veya hayali eksen üzerinde ve ikinci sütunda - diğer tüm karmaşık sayılar için.

belirtmek . Gibi . Daha sonra karmaşık sayı trigonometrik formda temsil edilebilir:

.

İki karmaşık sayı ve trigonometrik formda verilmiştir

. .

argümanın belirsizliği nedeniyle eşit ve eğer . .

Örnek 10. Karmaşık sayıların argümanlarının ana değerlerinin yanı sıra modülleri ve argümanları bulun . Her birini trigonometrik formda yazın.

Karar . Tüm bu sayıların modülleri aynıdır:

.

Her bir sayının argümanı, ilgili noktanın bulunduğu çeyre dikkate alınarak bulunur.

1) Nokta o zaman ilk çeyrekte yatıyor

.

Trigonometrik formda burada saydım - Kosinüs ve sinüs sıklığı.

2) Noktası sonra ikinci çeyrekte yatıyor

.

.

3) Nokta o zaman üçüncü çeyrekte yatıyor

.

.

.

4) Noktası dördüncü çeyrekte yatıyor

.

.

.

Trigonometrik formda karmaşık sayıların çarpımı ve bölünmesi. Sayılar olsun ve trigonometrik formda verilir: . . Onları çarpın:

.

İki açı toplamının kosinüs ve sinüs için formüllerini hatırlıyoruz,

. (1)

Karmaşık sayılarla çarpılırken, modüllerinin çoğaldığını ve argümanların eklendiğini görürüz. Bu işlemin geometrik anlamı: sayıları temsil etmek ve sıfır noktasından kaynaklanan karmaşık düzlemdeki vektörler, vektörün olduğunu görürüz vektörden elde edilen "Germe" bir kez ve dönüş açısı .

Özel olarak formülü alırız:

. (2)

Örnek 11. Ürünü ve sayıların bölümünü bulun

ve .

Karar . Yazdığımız formül (1) uyarınca:

.

Bu sayıları cebirsel biçimde çarparak sonucu kontrol edin:

.

Formül (2) ile bulduk

.

Cebirsel formda, bu işlem şöyle yazılır:

.

Karmaşık bir sayıyı bir güce yükseltmek. Formül (1) 'den itibaren, üstelin karmaşık sayı kural tarafından üretildi

. (3)

Örnek 12. 1) hesaplayın ; 2) .

Karar . 1) Yukarıda, karmaşık bir sayı kaydettik trigonometrik formda: . Formül (3) ile bulduk . Aynı sonuç, Newton binomial kullanılarak yukarıda örnek 4c) elde edildi.

2) Her şeyden önce, sayıyı temsil edelim trigonometrik formda.

. .

nokta dördüncü çeyrekte yatıyor . bu nedenle

.

Formülü (3) kullanmak kalır:

.

Fark küpünü ortaya çıkarsak, aynı sonucu alırız (kontrol edin!).

en formül (3) Moivre formülüne dönüşür:

. (4)

Yardımı ile, birden çok açı ile sinüs ve kosinüsleri ifade ilişkilerini kolayca elde edilir ve .

Örnek 13. Ekspres ve içinden ve .

Karar . Moivre'nin formüle koyulması , biz alırız:

.

Solda, toplam küpü açın ve benzer üyeleri toplayın:

.

Burada dikkate alınır . Cebirsel formda iki karmaşık sayının eşitliğine vardık.

.

Eğer bu sayıların gerçek ve hayali parçaları eşit ise, bu doğrudur.

Parça eşitliği verir ;

hayali parçaları eşitliyoruz .

Karmaşık bir sayıdan kök çıkarma. Karmaşık sayılar ve ilgili sonra . Sayıları düşünün ve trigonometrik formda:

. .

Burada olduğunu varsayalım - Bağımsız değişkenlerin ana değeri .

Görevimiz belirli bir sayı için (yani, bilindiği üzere) ve ) tanımlamak (Yani ve ). Formül (3) eşitliğine uygun olarak yazılı

.

Trigonometrik formdaki iki karmaşık sayının eşitliğinden aşağıdakiler gelir:

.

burada - kök gerçek olmayan negatif bir sayının gücü. Kök için Karmaşık bir sayının gücü formülü al

. (5)

Sürekli olarak varsayarsak biz elde farklı anlamlar :

.

.

.

Bütün bu kökler aynı modüllere sahiptir. , Yani karşılık gelen noktalar yarıçapın bir dairesinde bulunur orijin merkezli. İki bitişik kökün argümanları açıya göre değişir . Yani tüm kök değerleri Karmaşık bir sayının gücü sağ üst kısımda - yarıçapı bir daire içinde yazılı .

Örnek 14. Tüm kök değerleri bulun Karmaşık bir sayının gücü ve eğer bunları karmaşık düzlemde çizerseniz

1) , 2) , 3) , 4) .

Karar . 1) Her şeyden önce, karmaşık sayı modülünü ve argümanını buluruz : . Formül (5) için formu almak

.

nereden .

.

.

makas Birim yarıçapı bir daire içine yazılmış düzenli bir üçgenin köşeleri vardır, bir kök gerçek bir sayıdır. İki bitişik noktanın argümanları açıya göre değişir . Unutmayın .

2) burada : bu yüzden

.

nereden .

.

.

makas bir daire içinde yazılmış normal bir üçgenin köşelerinde kök gerçek bir sayıdır. Unutmayın . Aldığınız Pr.12.2 sonucuyla karşılaştır , Yani .

3) burada : ve de

.

nereden .

.

4) burada ve de

, biz iki sayı alırız:

. .

hatırlayalım: .

Görev 3. Görevler 1'i gerçekleştirir. , 2) .

Örnek 15. Lineer üçlü terimi doğrusal faktörlere ayırmak.

1) ; 2) .

Karar . 1) İkinci dereceden denklemi düşünün . Onun diskriminantı . Gerçek köklerin olmadığı anlamına gelir. 16.1'den itibaren . İkinci dereceden bir denklemin köklerine yönelik formüle göre . İki karmaşık konjuge kökleri alındı ve . Bulunan köklere uygun olarak, kare üçlemeyi doğrusal faktörlerde ayrıştırabiliriz:

.

2) İkinci dereceden denklemi düşünün . Onun diskriminantı gerçek kökler yoktur. 16.1'den itibaren . İkinci dereceden bir denklemin köklerine yönelik formüle göre . İki karmaşık konjuge kökleri alındı ve . Bulunan köklere uygun olarak, kare trinomayı doğrusal faktörlere ayırırız:

.

Gerçek katsayıları olan ikinci dereceden bir denklemin bir çift karmaşık konjuge köküne sahip olduğuna dikkat çekiyoruz .

Görev 4. Doğrusal faktör genişletmelerinin doğru olduğundan emin olun.

; ; .

Karmaşık bir sayının üstel şekli. Euler formülü (daha sonra ispatlanacak) :

, (6)

Gösterge formunda karmaşık bir sayı yazmanızı sağlar :

nerede .

Euler formülü ve - Sinüs ve kosinüs sıklığı şöyle olmalıdır:

.

dolayısıyla, , Yani .

Örnek 16. Sayılar üstel formda yaz.

Karar . Örnek 10 bulundu .

. . .

. . . . ?

İlişkilerin geçerliliğini kontrol etmek kolaydır:

Bu ilişkileri, çarpım, bölme ve trigonometrik formdaki karmaşık sayıların gücüne yükseltme kurallarıyla karşılaştırın.

Örnek 17. Karmaşık sayıları karşılaştırın. ve .

Karar. 16'dan itibaren: . Sayılar var ve modüller eşittir. Sayıda vurgulama çoklu dönem temsil ettiğimiz şeklinde çarpan olarak . dolayısıyla, .