border=0

De ring wurdt commutative, assosjatyf, anti-commutative neamd. Lyts ring yn algebra

In ring is in abelianusgroep mei multiplication. dêr't de neikommende eigenskippen wier binne: en .
In ring wurdt commutative neamd .
In ring wurdt as assosjatyf neamd .
In ring wurdt anti-commutative neamd .
In ring hjit in Lee ring as .
Yn elke ring . Really en .
Element yn 'e ring wurdt in ienheid neamd as .

Definition In fjild is in kommutative, assosjatyf-ring mei in ienheid wêryn elke non-nul-elemint in ynvers is.

Definition In lichem is in assosjatyf-ring mei in ienheid wêryn elke nonzero-elemint reversibel is.

Foarbylden:

- quaternion fjild. Dit sil echt in fjild wêze, sûnt , as de matrix net nûmer is, dan hat it de invers: .

Definition Lit - fjild. Ring dat is in fektorromte boppe neamd - troch algebra , as .

Oefening. Yn 'e antyommutative algebra (ring) is de identiteit tefreden .

Oefening. Lit - assosjatyske algebra, sette wy . Bewearje dat neffens nije multiplication is in ly algebra.

Definition Element algebra mei in ienheid neamd reversibel as .

Definition Element wurdt de linker ( rjochts ) nul divisor neamd , as ( ).

Offer Alle reversibel eleminten fan in assosjatyske algebra mei in ienheid foarmje in groep troch multiplication. In reversible elemint kin gjin nul divisor wêze.
Bewearing.
                As - reversibel, dan - reversibel .
As - reversibel, dan - reversibel .
Dêrom is it echt in multiplication-groep.
Lit reversibel en dan dat tsjut de definysje fan 'e nul divisor.

Definition In algebra wurdt in dome neamd as it gjin nul divisors hat.

Definition Subalgebra yn algebra wurdt it subspace neamd, dat is in ring dêr't de eigenskippen oan foldwaan binne:
1) ,
2) net leech

Lit - assosjatyf -algebra mei ienheid en lit . Besykje in protte - allegear sa'n einige bedragingen.

Oefening. is de lytste subalgebra mei ienheid yn mei it item .

Definition Ideaal Ringen (algebras) wurdt in subgroup neamd in additive groep (subspace), sa as wannear , dan en . Ie it ideaal hâldt de fermelding op 'e linker en rjochter fan alle eleminten fan' e ring (algebra).

Definition In ring (algebra) wurdt simpel neamd as der mar twa idealen yn binne: 0 en it sels.

Offer Litte in ideaal yn in assosjatyske algebra mei in ienheid in ynkommelbere elemint befetsje, dan is it ideale oerien mei de folsleine algebra.
Bewearing.
                Lit - reversibel en . As dan dêrom .

It ûndersyk. Elts lichem, elk fjild is altyd ienfâldich.

Lit - assosjatyske commutative algebra mei 1 en . Besykje in protte .

Oefening. - ideaal yn mei .

neamd it primal ideaal dat it elemint generearre hat .
Lêzing 12 (11/19/2001)

Definition In kommutative assosjatyfnimmende domein (sûnder nul divisors) mei in ienheid wurdt in ring (algebra) fan haad idealen neamd , as der in ideaal is.

Bygelyks yn 'e ring fan inteken Elk ideaal is altyd in subgroup, d. i.e. elk ideaal is de wichtichste en dizze ring fan haad idealen.

Theorem. Lit - fjild. Dan - ring fan haad idealen.
Bewearing.
                Lit en . Lit - it minste polynom. Lit dan kinne wy ​​dielen op mei de rest: wêr't ek . Mar dêrom . Want at wie it dan de minste mjitte i.e. . Dêrom - it haad ideaal dat ûntstiet troch in polynom en - ring fan haad idealen.

Oefening. Bewearje dat de ring is is gjin ring fan haad idealen. Taljochting: beskôgje it ideaal - alle polynomen mei nulfreige leden en bewiis dat it net prime is.

Besjoch in ring .

Theorem. - ring fan haad idealen.
Bewearing.
                Wy ûntliene op dizze set in analogen fan it euklidyske algoritme (divyzje mei residinsje). Wy prate de norm dan .

Lemma. Lit dan der binne sa dat , en .
Bewearing.
Besykje alle nûmers fan 'e foarm . Wy krije wat as in giel, de kant fan it plein is . Nim in willekeur nûmer . It sil yn ien fan dizze pleatsen falle, dan is de ôfstân fan net nei in pear kwestje fan it plein net mear .
As nûmer Nim in nûmer om te nimmen wie dit top. - fektor fan dit kwestje nei . Dan .

No litte , . Kies sadat syn taryazje minimal is. Fierder sprekt as yn 'e foargeande teorem mei polynomen (it tapassen fan de hjirboppe beskreaune divyzje mei de rest), fine wy ​​dat alle oare sifers dielber binne troch dêryn, d. - it haad ideaal en - ring fan haad idealen.

Wy draaie no nei de behanneling fan nonkommutative ringen. Lit - assosjearjende ring mei ienheid, . Lit - fjouwerkant matrizen mei koeffizers fan in ring .

Oefening. .

Theorem. Lit . Dan sa as dat .
Bewearing.
                Lit . Bewearje dat . Lit en dan dêrom . Similar dêrom .
Lit dan . Dêrom i.e. alle matrixkoefficiënten út ideaal opnommen . Dêrom . Lit , - willekeurige matrix fan . Dan . Dêrom i.e. .

Tsjinje dat oant ring (algebra) wurdt neamd as simpel as der mar twa idealen yn binne: nul en it sels.

It ûndersyk. As - lichem, dan - ienfâldige ring.

Definition Mapping In algebra homomorphisme neamd as
1) ,
2) ,
3) .
In isomorphisme is in bi-aktyf homomorphisme.
In automorphisme is in isomorphisme fan in algebra op himsels.
In monomorphisme is in ynjektyf homomorphisme.
In epimorphisme is in surjektyf homomorphisme.
De kernel fan in homomorphisme is de folsleine foardiel fan nul. .

Offer .
Bewearing.
                Lit dan .
Lit , dan .

Oefening. dan en allinich as - monomorphisme.

Lit wêr - lichem. Dan mar yn krekt foar it ideaal: nul en it sels. Dêrom ek - nul of monomorphisme.

Lit dan - subgroup yn (troch oanfolling), en normaal, dus - faktorgroup (troch tafoeging), i. . Dan

Offer Multiplication en ferdieling troch skalieren definiearre korrekt.
Bewearing.
, .
, , .
.
Dêrtroch ferdylgens definiearre korrekt.
.
Dêrtroch multiplikaasje troch skalieren definiearre korrekt.

Idealen en faktorgroepen binne yn elke ring oanlein (net allinich yn in assosjatyf of kommunitatyf). - Faktaalalgebra (faktorring).
Besjogge in homomorphisme , t.ch. (natuerlike homomorphisme).

Oefening. is in epimorphisme en .

Theorem (op homomorphisme). Lit dan - subalgebra isomorph .
Bewearing.
                Wy definiearje isomorphisme as folgjend: (sjoch teory op homomorphisme yn groep teory). Litte wy in oantal eigenskippen fan isomorphisme kontrolearje (de rjochten binne ferifiearre yn groep teory):

Dêrom is it in isomorphisme.

Foarbylden:
1) . Homomorphisme wêr - rêst fan ferdieling op dan .
2) . Homomorphisme wêr dan .
3) . Homomorphisme wêr dan .

As - subfield yn dan is algebra oer . Alle automorphisme lykas algebra oer foarmje in Galois-groep .





Sjoch ek:

Lineêre romte

Diskrete subgruppen yn algebra

Non-abelyske groep

Definition of a cyclic subgroup

Homomorphisme | Monomorphisme | Epimorphisme | Isomorphisme | Automorphisme yn algebra

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ edudocs.fun