border=0

Non-abelyske groep

Definition In net-Abelianske groep wurdt simpel neamd as der allinich twa normale subgruppen yn binne - de ienheidgroep en de groep sels.

Hjir binne inkele foarbylden fan ienfâldige groepen:

Theorem. Groepen at ienfâldich.
(groep Abelian, dus net ienfâldich; de groep befettet in normale subgroup dêrom net maklik).
Bewearing.

Lemma 1. Undergroup generearre troch triple cycles.
Bewearing.
Wy witte dat elke fergadering it produkt is fan siklen fan lingte 2 (transposysjes). Want substitúsjes yn Ja, se binne lyk oan it produkt fan in sels tal transposysjes. Tink it produkt fan twa transposysjes:
as binne oars
as binne oars
.
Ie Fergrutting de transposysjes yn twa, krije wy it produkt fan linen fan lingte 3.

Lit yn Der is in normale subgroup , en .

Lemma 2. As befettet in triple cycle ( ), dan .
Bewearing.
Nim in willekeurige trije fyts nimme sa as dat of dan gean alle eleminten yn harsels. Ien fan dizze substitúsjes sil sels wêze, kies it. Wol krije om't . Dêrtroch is de subgroup alle trije sikkels hearre, dus (troch Lemma 1), .

Lemma 3. As befettet in ferfanging dy't in lingtezyklus hat yn 'e fergrutting yn ûnôfhinklike cycles dan .
Bewearing.
Lit dan . Ie befettet in fyts fan lingte 3, dus (troch Lemma 2), .

Lemma 4. As befettet in ferfanging , dy't yn 'e ûntwikkeling yn ûnôfhinklike cycles minstens twa linen fan 3 lingte befetsje, dan .
Bewearing.
Lit dan . Ie befettet in fyts fan lingte 5, dus (troch Lemma 3), .

Lemma 5. As befettet in ferfanging , dy't yn ûntbining yn ûnôfhinklike cycles ien fysyk fan lingte 3 en cycles fan lingte 2, dan is .
Bewearing.
Lit dan Dêrom (troch Lemma 2), .

Lemma 6. As befettet in ferfanging , wêrfan de ûntbining yn ûnôfhinklike cycles allinnich sikehuzen fan lingte 2, dan is .
Bewearing.
As , dan, om't wy hawwe op syn minst fiif karakters, . Dan Dêrom (troch Lemma 2), .
As dan Dêrom (troch Lemma 4), .

No, bewiisje wy de teorem feitlik. Nim wolwillich . It befettet de kondysje fan ien fan ús lêzers, dus . De teorem is bewiisd.

Lit in oare foarbyld jaan fan in ienfâldige groep: groep - orthogonale symmetryske matrizen.

Definition Switchboard items fan groep neamd elemint .

Oefening. .

Offer Yn wy hawwe as binne oars.
Bewearing.
.

Offer Yn groep wy hawwe as binne oars.
Bewearing.

Definition Groepkommutator - (of ) is de opset fan alle wurken fan skeakels.

Offer .
Bewearing.
                Lit en dan
. En, om't dan
. Dêrom - dit is in subgroup, no bewize wy it normaal.
Lit dan .
- werder dan wer lykas it produkt fan de skeakels, d. .

Theorem.
                1) at en at .
2) at .
Bewearing.
                1) , - sels subsydzje, dus . Boppedat hawwe wy dat earder bewize en dat elke evenreding is in produkt fan trijele cycles, d. it produkt fan skeakels. Dêrom .
Wy hawwe dat dêrom of ien inkeld of oerienkomt mei . Mar is in net-abelike groep, dus dêrom .
2) , hat in determinant lyk oan ien, dus . Boppedat kenne wy ​​dat as . Dêrom . Fan deselde oerwaging krije wy dat .

Oefening. Bewearje dat .
Lêzing 6 (8 oktober 2001)

Offer Lit , dan binne de neikommende betingsten lykweardich:
1) - Abelian;
2) .
Bewearing.
                Wy skriuwe in keten fan lykweardich ferklearrings: - abelian
.





Sjoch ek:

Definition of a cyclic subgroup

Homomorphisme | Monomorphisme | Epimorphisme | Isomorphisme | Automorphisme yn algebra

Externe produktgruppen

Abelianske groep yn algebra

Weil algebra

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ edudocs.fun