border=0

Teorem: Alle integer rechteangeleatrix is ​​ferlege ta diagonaalfoarm troch elemintêre transformationen fan rigen en kolommen.

Theorem. Alle integer rechteangeleatrix is ​​konvertearre yn diagonale foarm troch elemintêre transformationen fan rigen en kolommen. wêr .
Bewearing. (troch yndeksje op it oantal rigen)
Basisynformaasje . De matrix hat it formulier . As it nul is, dan hat it al de winske útsjen. As it net nul is, dan sûnder ferlies fan generaal kinne wy ​​dat oannimme is it lytste nonzero-elemint yn absolute wearde (oars kinne de kolommen opnij regele). Wy kinne dat ek oannimme (oars, multiply de kolom troch ), op deselde wize meitsje wy alle eleminten posityf. Lit wêr . It subtraktearjen fan 'e twadde kolom krije string . As 0, dan is it lytste modul fan in nonzero elemint fermindere, dizze funksje ferskynt meardere kearen, fynt dat it module net > en wy krije de string . Doe't dizze ferskate kearen dien hawwe, komme wy mei in string ein It swappjen fan de kolommen, wy krije - diagonaal matrix, en .
Ynduktyf oergong. Lit de ferklearring fan it teorem wier wêze rigen, bewiisje it foar linen. Wy hawwe in matrix Denote troch . Stel dat dat liede to dus wat is neist net ôfnimme. It linen fan de rigels en kolommen en, as nedich, multiplikearje troch , krije wy dat dit minimaal berikt is op it elemint , en . Dan krije wy dat as .

Lemma. Alle eleminten fan 'e earste rige en de earste kolom ferdield yn .
Bewearing.
Nim in willekeurich elemint fan 'e earste rige , wy krije dat wêr . As dan subtraktearje fan De tsien earste kolom waard multiplisyt yn 't plak krije it nûmer dêrom fergriemd, dat is ûnmooglik. Means en alle eleminten fan 'e earste rige binne ferdield troch . Lykwols bewiisje wy de earste kolom.

Ienris alle eleminten fan 'e earste rige en earste kolom binne ferdield troch , it subtraktearjen fan 'e earste rige (multiplisy troch it winske ferhâlding) fan' e rest, en it subtraktearjen fan 'e earste kolom (multiplisyt mei it winske ferhâlding) fan' e rest, wy krije de matrix , en . Fierder kinne wy ​​troch de yndekshypothese de matrix nei in diagonaal foarm bringe besteande út linen. As gefolch krije wy de winske ûntbining.

Oefening. Oantal fan lykas de grutste mienskiplike divisor fan alle eleminten fan 'e matrix.

Foarbyld:
                Litte wy nei in diagonaal geast in matrix bringe , hawwe wy dat NODU fan alle eleminten . Dêrom kinne wurde krije (bygelyks it fermannigjen fan de earste kolom troch en in twadde oan te jaan): goed, dan sille wy neffens de algoritme trochgean fan 'e bewiis fan' e teorem:
.

Theorem. Lit - frije abelike groep en - syn subgroup, dan yn der is sa'n basis dat bestean sa as dat - basis yn .
Bewearing.
                Lit - basis yn . Lit - basis yn dan
. Wy krije in integermatrix Litte wy it bringe nei in diagonaal werjefte . By it útfieren fan elemintêre transformaasje hawwe wy gewoanwei nei in nije basis ferpleatst yn en yn Sa fûnen wy de basis yn it sa as dat sil de basis yn wêze .

Ferwizigje de definysje fan in finitele generearre abelian groep en bewiis

Theorem. Lit is in finitaart generearre abelian groep, dan is in direkte somme fan in frije abelike groep en primêr szyklikgroepen (fysyk groepen wêrtroch de opdracht lykweardich is fan in prime nûmer).
Bewearing.
                Lit i.e. generearre troch eleminten . - frije abelike groep mei basis . Konstruearje in homomorphisme neffens de regel . Fansels is it mappen opfallend. Its core is in subgroup fan . Lit - basis yn sa as dat - basis yn (hjir en ). As gefolch hawwe wy dat

hjir sette wy at .
(troch de faktorisearring teorem).
Besykje in aparte addend. dêrom
. Algemien sprutsen groepen Meitsje net primêr, mar yn dit gefal wurde se fierder yn in direkt sum fan primêre siklokruppen dekompensearre.

It ûndersyk. In definitive abelike groep is in direkte som fan primêre siklokruppen.
Bewearing.
                Elke finitaane abelike groep is finitely generearre. En sûnt Sûnt in frije abelike groep is rekkenskipber is, is it net yn 'e ferplichtingsproseduere útsteld yn it teory. Dêrom bliuwe allinich primêr szyklikgroepen.

In foarbyld.
                Nim in groep bestelling , dan binne de folgjende opsjes mooglik:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Dêrtroch binne der 6 net-isomorphyske abelike groepen fan oarder .

Definition Groep hat gjin torsion as it net-ienheid-eleminten fan finite oarder befet.

Theorem. In finitely ûntsteane torsionfrije abelike groep is fergees.
Bewearing.
                Troch it foargeande teorem hawwe wy dat Dêrom binne dizze termen net fûn - frije abelike groep.





Sjoch ek:

Algebra mei multiplikaasje wurdt Ly algebra neamd

Lineêre romte

Diskrete subgruppen yn algebra

Algebra groepen

Homomorphisme | Monomorphisme | Epimorphisme | Isomorphisme | Automorphisme yn algebra

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ edudocs.fun