border=0

Weil algebra

Besjoch en beskôgje de operators en .

Offer , , .
Bewearing.
                De earste twa relaasjes binne fanselssprekkend, wy bewiisje de tredde:
.

Definition Weil's algebra wurdt beneamd ta subalgebra mei in ienheid yn 'e algebra fan alle lineêre operators generearre troch operators .

Elk item fan 'e kinne fertsjintwurdige wurde yn as of hoe .

Offer Lit fertsjintwurdige as dan
1)
2)
Bewearing.
                Yn elke algebra wy sette dan i.e. dizze operaasje hat deselde eigenskippen as differinsjaasje, sille wy it brûke. Kies - polynomialdifferiening op fariabele :

.
Lykwols bewiis de twadde lid.
Lêzing 13 (11/26/2001)

Lit ús weromkomme nei de beskôging fan Weil algebra. Ferjit net dat wy de romte beskôge en lineêre operators , dy't it eigendom hawwe en wêr . Weil algebra is as dan dan en .

Theorem. is ienfâldich.
Bewearing.
Lit , . Lit , dan .
As dan i.e. diploma ferminderje. Fierder dizze operaasje fierder fierder, sille wy meastentiids loslitte . Fierder op deselde manier kinne wy ​​allegear loslitte en, beskôgje Wy kinne elkenien loslitte . As gefolch krije wy dat in bepaalde konstante (net nul) heart ta ús ideaal. Dêrom, sûnt De konstante is ûnferbidlik, ús ideaal falt by de algema. Ie Algebra is ienfâldich.

Offer Polynomialen linearly ûnôfhinklik yn op ferskillende .
Bewearing.
                Ja, as dan sille wy dwaan as yn it bewiis fan 'e foargeande tema, d. en sa fierder As gefolch krije wy dat in nonzero konstante nul wêze moat, dat is ûnmooglik.

It ûndersyk. Weil algebra is un-dimensional.

Besjoch it fjild . Boppe wy kenne de neikommende lichems:
1) oer ;
2) oer ;
3) oer - quaternion fjild.
No sille wy bewiisden dat der gjin oare lichems binne (d.i. alle lichems binne isomorphysk foar guon fan dizze).

Lemma. Sintrum lykweardich i.e. alle matrizen mei deselde echte nûmers diagonaal.
Bewearing.
                Lit - elemint fan it sintrum. Dan foar ien en . Ie krije it systeem op 'e eleminten . It oplossen fan dizze, krije wy de útspraak fan it lemma.

Definition Lit - asosyske algebra mei in ienheid oer in fjild . Element wurdt algebraisch neamd as der in polynom wie sa as dat . Minimal polynom fan in algebraike elemint wurdt it minste polynom mei de heechste koeffizient neamd sa as dat .

Oefening. Lit - algebraike elemint fan en - allegear sa dat . Bewearje dat en wêr - minimale elemint polynom .

Theorem. Lit dan .
Bewearing.
                Nim , wêr dêrom . Dêrom wêr . As dan . Dêrom i.e. . As dan dat is ûnmooglik. Dêrom dêrom alles en eleminten binne ûnôfhinklik.

Theorem. is in fjild as en allinich as it polynom ûnreplikbaar.
Bewearing.
. Lit jouwe, d. wêr . Dan en i.e. Der binne nulde dielers. Dêrom gjin fjild.
                . Lit ûnredsibel en - nonzero elemint. Dan net dielen i.e. . Dêrom . Dan i.e. elke nonzero elemint is reversibel. Dêrom fjild.

Definition Lit - algebra en . In protte In subalgebra neamd wurdt troch in elemint generearre .

Offer Lit - domein (assosjatyske algebra mei ienheid en sûnder nul divisors) en . Dan is it minimal polynom foar ûnredsibel en . Yn it bysûnder is in fjild.
Bewearing.
                Lit wêr . Dan at mar yn gjin nul divisors. Hast in tsjinspraak, dus, ûnreplikbaar.
Besjoch sa as dat . Dan en . Troch it homomorphisme-teorem krije wy - fjild.

Offer Lit - finite diminsjoneel lichem oer en . Dan .
Bewearing.
                Lit - minimal polynomial fan foar . As , dan dêrom tsjinstelling. Dêrom - ûnferbidlik oer . Dan . (let - kompleetwurke Dan sille wy set , t.ch. en brûke it homomorphisme).

Theorem. Lit - in fjild dat is in finitimimale algebra oer . Dan of .
Bewearing.
                Lit , dan (neffens de foarige sin) . Lit en - minimal polynomial foar oer dan ûnreplikbaar. Dêrom wêr en i.e. . Dêrom .

Theorem (Frobenius). Lit - finiten-diminsjoneel netkommutatyf lichem oer dan .
Bewearing.
                Want noncommutative dan . Lit . Dan dêrom . is de linkere fektorromte oer . Besykje de operator , is in lineêre operator, sûnt en . Ie Wy krije in wiidweidige presintaasje fan 'e groep , . Tink derom:
dan .
As dan i.e. Want yn it gjin nul divisors dan i.e. . Similar . Dêrom .

Lemma 1. .
Bewearing.
               Lit dan dêrom . Mar - subalgebra dat is in finiten-dimensionale útwreiding . En wy witte al yn dat gefal .

Lemma 2. Lit , wêr . Dan .
Bewearing.
.

Lemma 3. Lit dan en .
Bewearing.
Neffens it eardere lemma . Dêrom . Mar oan 'e oare kant (om't yn gjin nul divisors). Dêrom draaie alle ûngelikens yn lykweardigens en . Lykwols bewiisje wy dat .

By Lemma 1 hawwe wy en . Nim dan . Minimal polynomial foar oer hat diploma 2. dus wêr . Mear dan: (om't ) en (om't ). Dêrom . Ie Wy krije dat , en .
As dan i.e. dat is ûnmooglik.
Dêrom wêr . Dêrom . Lit dan en . Lit dan , en .
As gefolch hawwe wy dat . Ie Wy krigen in groep quaternijen (multiplication regels binne deselde).
Lêzing 14 (3 desimber 2001)

Definition Lit - gebiet boppe it fjild en . Element algebraisch neamd as sa as dat . Polynomial minste taryf mei de heechste koeffizient 1, sa wurdt it minimale ûntlizzende polynom foar neamd .

As - minimal polynomial foar dan .

Offer As nonzero over dan - fjild. Element is de woartel op it fjild .
Bewearing.
Lit , . Dan
.

It ûndersyk. Lit - arbitrêr. Dan is der in fjild yn it polynom wy hawwe in woartel.
Hjir de fjildferdieling neamd Dit is opnaam as .

Definition Lit en . Fjild neamd as:
1) boppe polynomial ûntwikkele yn lineêre faktoaren;
2) gjin intermediate fjild ( ) hat gjin eigendom.

Theorem. Lit en . Dan:
1) dekompposysjefjild bestiet;
2) as en - dekompposysjefjild foar dan en isomorphysk as algebras
Bewearing.

                1) besteande (bewiis troch yndeksje).
As dan .
No litte en foar alle minder degrees is it bestean fan it dekompensjaal fjild al bewiisd. Wetter - Agrarwetter oer irreduzibele polynomen , - ûnferbidlik. fjild wer, en dêr is in polynom hat root . Dan op dit fjild wêr , en . Troch de yndekshypothese is der - dekompposysjefjild foar . Dêrom sil in dekomposysjefjild wêze .
2) Unikeigens (ek troch yndeksje).
As , it dekompposysjefjild is unyk en gelikense .
As . Lit . Lit en - roots yn 'e fjilden en respektivelik. Dan . Sûnder ferlies fan generaal kinne wy ​​dat oannimme en . Dan en - fjilden fan ûntbining fan in polynom oer . Troch it yndeksjen fan it fjild en oandwaan

Opmerking fan it earste semester dat as - fjild, dan of 0 of in prime nûmer. As it karakteristyk nul is, dan is it fjild in fjild fan rationalen nûmers. As it karakteristyk is , dan it fjild befettet it fjild fan residuee op it module .

Theorem. Lit - it ferdield fjild en dan .
Bewearing.
Want dan is in fektorromte oer dimensjes . Lit - basis yn oer . Dêrom wêr . Dêrom .

Offer Lit - fjildsigens . Dan , .
Bewearing.
Beweech earst foar de mjitte . Neffens Newton's binom
.
Binominale koeffizienten lykweardich . En en dêrom . Ie op it fjild dizze koeffizient is nul. Dêrom .
Yn it algemiene gefal ( ) hawwe wy:
.

Theorem. As - fjild fan eleminten en dan .
Bewearing.
                Lit . Dan . Mar - multiplikaasjegroep bestellen dêrom dêrom .
As , dy ferklearring is fanselssprekkend.

Theorem. Lit wêr - gewoan, dan is der (en it unyk) fjild en items.
Bewearing.
                Besjoch it fjild en polynom . Lit - dekompposysjefjild foar . Lit en - roots dan i.e. - ek root . Lykas boppesteande sin i.e. - ek root . Lykwols, kontrolearje wy dat en sil ekwurde wurde .
As dan dêrom en . Alle woartels foarmje in subfield. Dêrom tsjintwurdich mei de set fan alle woartels fan in polynom . Polynomial gjin meardere woartels, want en - inoar ienfâldich. Dêrom . De ienichheid fan it fjild folget út 'e unike identiteit fan it dekompposysjefjild foar in polynomial. .

Theorem. Lit - fjild en - finale subgroup yn . Dan - siklik.
Bewearing.
wêr - Sylow - subgroup. It is genôch om ús elk te bewizen siklik. wêr - in prima nûmer. Lit elemint hat in maksimale oarder ( ). Dan of . Besykje in polynom . Any item hat bestelling wêr . Dêrom en . Ie alle items binne de woartels fan in polynom . Mar krekt dêrom en de oarder fan it elemint fermindere by de oarder fan 'e hiele groep. Dêrom is de groep fysyklik generearre elemint . Dêrtroch is de hiele groep siklik.

It ûndersyk. - siksyske groep.

It ûndersyk. Lit - fjild en . Dan is der in polynom graden sa as dat .
Bewearing.
wêr - minimal ferneatigjend polynom.

Theorem. Automorphisme groep wêr is in szyklik oardergroup .
Bewearing.
Lit - automorphisme dan , , i.e. as . Dan wêr - minimal ferneatigjend polynom foar , . Lit dan . Foar der is net mear wearden. Dêrom is der net mear automorphisme .
Wy jouwe in automorphisme fan oarder . dan en . Dan i.e. is de identiteit automorphisme. As bestelling lykweardich dan en dan op it fjild sil gewoan wêze items. Dêrom is de oarder lykweardich en .





Sjoch ek:

Non-abelyske groep

Lofts neistlizzende klasse | Rjochtsjende klok

Teorem: Alle integer rechteangeleatrix is ​​ferlege ta diagonaalfoarm troch elemintêre transformationen fan rigen en kolommen.

Externe produktgruppen

Euklidyske romte

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ edudocs.fun