border=0

Stabiliteit fan automatyske systemen.

Krekt as de term "duorsumens" wurdt brûkt yn 'e mienskiplike begripen, yn automatisaasje is dizze term ek in oantal mûle it fermogen fan elk systeem om faktors te wrekjen dy't it systeem út' e balâns bringe. De stringende wurdearring is sa folget.

Stabberheid is de kapasiteit fan in systeem om te kommen ta in steat fan lykwichtigens nei it bewarjen fan 'e faktoaren dy't it út' e balâns stelle. De lykweardige steat is karakterisearre troch invaraasje yn 'e tiid fan' e regele wearden. As it systeem net in steat fan lykwicht komt, en ûnferbidlik fanút is it net stabyl. Unstabile systeeën kinne net operearre wurde, om't der in net kontroleare feroaring yn 'e kontrolearre wearden is. Yn 't regel liedt it fermogen fan stabiliteit troch it systeem liedt ta ûngemakken fan it objekt fan regeling, en faak katastrofysk. As foarbylden is it mooglik om de skippen fan skippen te ferwachtsjen dy't stabiliteit, motormamping ("ôfstân"), eksplosjes op kwalitatyf produktyplanten hawwe, ensfh. Sa is de easken fan stabiliteit ferplicht foar elke funksjele systeem. It moat fêststeld wurde dat it ferlies fan stabiliteit fan ATS ûntstean kin troch feroaringen fan har eigenskippen, feroarsake sawol troch wearze of mislearring fan eleminten en (tige faak) troch ûnkwalifisearre aksjes fan in persoan by it probearjen fan de systeemynstellings of by de ymplemintaasje fan foarfoarsjele maatregels. Notysje ek dat it begryp fan duorsumens in kwalitatyf karakter hat, mar net in kwantitatyf. Sa kin men sizze oer it systeem dat it stabyl is ofstabyl, mar men kin net sizze dat it systeem "mear" of "minder" stabil is.

De natuer fan transiente prosessen yn stabile en ynstabile systemen ûnder de aksje fan eksterne faktoaren kin sjoen wurde yn ôfbylding 3.29. Stabile systemen oan 'e ein fan' e oergongsproses komme ta in lyts steady-state-wearde fan 'e regelwearde wearde (fig.3.19, a), yn ynstabile systemen (fig.3.19, b) de regelwearde wearde feroaret ûnôfhinklik. As it proses yn it systeem is yn 'e natuer fan steady-state oscillaasjes (as de grins tusken dampige en diverjende oscillaasjes), dan wurdt it systeem sein op' e grins fan stabiliteit (fig. 19.19 c). It is dúdlik dat allinne opsje (3.19, a) akseptabel is foar praktysk gebrûk. Sa is it bûtenwrâld fan in stabyl systeem de beheinde gruttens fan 'e geregelde kwantiteit: y = ogre.

a
b
yn it
t
t
at
at
at
t

Fig.3.19. Transienten yn systemen:

a - duorsum; b - ynstabyl;

c - ATS by de grins fan stabiliteit.

De oarspronklike gegevens foar it oplossen fan 'e stabilstofprobleem fan in systeem is syn wiskundige beskriuwing. De earste oplossing fan dit probleem, net sûnder ferdielen, waard jûn troch de Ingelske natuerkundige James Maxwell (1868).

Evaluaasje fan de duorsumens fan 'e SAR troch har woartels

karakteristike lykwearde (Maxwell's teorem)

Lit it systeem beskreaun wurde troch in differinsjaal lykwicht

(in n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) y = bx. (3.69)

De oplossing, lykas in lineêre lykwearde, wurdt socht yn 'e foarm

,

wêr is de algemiene oplossing fan in homogene lykweardigens

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) y = 0, (3.70)

- in bepaalde oplossing fan lykweardigens (3.69). De betingst foar ferdidens fan y is de begrinzing fan beide beide termen.

As altyd is de bepaalde oplossing de wearde fan 'e regelwearde wearde yn' e nije fêste steat dy't feroarsake is troch de eksposysje x = x 0 :

= konst. ; x = x 0 .

Substitution yn (3.69) jout de betingst fan 'e steady state:

a 0 = bx 0 , = bx 0 / a 0 .

Yn echte betingsten is de ynfloed altyd beheind yn maat, en dus is de bepaalde oplossing beheind. Dit liedt ta in wichtige konklúzje: de rjochterhân fan 'e ûnderskate eksklusing hat gjin ynfloed op' e stabiliteit fan it lineêre systeem, dus is it net ôfhinklik fan eksterne ynfloeden as it systeem it stabile eigendom hat of net. Sa wurdt de stabiliteit fan 'e SAR allinich bepaald troch it type fan' e linker kant fan 'e lykweardichheid. Algemiene oplossing:

= C 1 exp (p 1 t) + C 2 exp (p 2 t) + ... + C n exp (p n t), (3.71)

wêrby't C 1 , C 2, ... C n de yntegraasjeskonstants, p 1 , p 2 , ... p n binne de woartels fan 'e karakteristike lykbaasje

a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 = 0.

Sûnt de yntegraasjeskonstanten wurde beheind, is it dúdlik dat de begrinzing fan 'e algemiene oplossing hinget fan' e type funksjes

exp (p k t), k = 1,2, ... n,

dat is, fan 'e woartels fan' e karakteristike gearhing. Yn it algemiene gefal kin ûnder de woartels echt, komplekse en figuerlik wêze. Elke type root yn 'e ekspresje (71) komt oerien mei in bepaalde soarte tafoeging en, fansels, is de begrinens fan elk fan harren nedich (tabel 1).

Tabel 1

Rootview View item
echte p k = a k C k exp (a k t)
kompleks p k , k +1 = a k ± w k i exp (a k t) [C k cos (w k t) + C k + 1 sin (w k t)]
Imaginary p k, k + 1 = ± w k i C k cos (w k t) + C k + 1 sin (w k t)

It tredde saak jout in net-fersnellingkomponint yn 'e algemiene oplossing, en as de oare komponinten konvergent binne, dan is it systeem op' e stabegrinzen. Dit eigendom wurdt faak brûkt by it analysearjen fan de stabiliteit fan ATS. De útdrukking yn fjouwerkante klanken is in beheind wearde. Sa is de fergunning fan 'e algemiene oplossing ôfhinklik fan oft de funksjes exp (a k t) binne beheind of net foar alle k Î [1, n]. Mei in fansels t> 0, dat fereasket dat


, k = 1,2, ... n. (3.72)

Maxwell's teorem: foar de stabiliteit fan in lineêre systeem is it needsaaklik en foldwaande dat de echte dielen fan alle woartels fan 'e karakteristike lykweardigens fan dit systeem negatyf binne.

Spesjale gefallen: genôch betingsten foar de stabiliteit fan systemen fan 'e earste en twadde oarders.

Charakteristike lykwearde SAR 1 oarder

a 1 p + a 0 = 0

hat in iene echte root p = -a 0 / a 1. It is negatyf as beide koeffizers de deselde tekens hawwe. Mei it each op de mooglikheid om de tekeningen fan beide koeffizers te feroarjen om te reagearjen, kin in genôch stabiliteitsstandaat formulearre wurde as ferplichting fan 'e posityfiteit fan' e koeffizienten fan 'e karakteristike lykwearde.

Karakteristike lykwearde CAP 2 bestelling

a 2 p 2 + a 1 p + a 0 = 0

hat woartels

.

Analyse fan dizze ekspresje liedt ta de konklúzje dat hjir de genôch stabiliteitsbetingest is de posityf fan alle koeffizers fan 'e karakteristike lykweardigens, en as de koeffizers ferskille yn teken, dan is it systeem ynstabile.

Stabiliteit SAR hege bestellingen.

Foar de stabiliteit fan systemen fan 3 en hegere oanfragen is de easken fan 'e posityf fan alle koeffizienten fan' e karakteristike lykwearde nedich, mar net genôch. Mei oare wurden, as alle woartels hawwe negative echte dielen, dan wurde alle koeffizers posityf, mar de konversearing is net wier.

De berekkening fan de woartels fan lykwichtens fan 'e tredde en fjirde graden is ferbûn mei grutte problemen, en de roots of equations fan' e fyfde en hegere graden, neffens it Abel-teorem, kinne net útdrukt wurde yn termen fan koeffizienten dy't gebrûk meitsje fan de tekeningen fan algebraike aksjes en de operaasje fan it útfieren fan 'e fjouwerkantwurden. Dit betsjut dat mei de sûnens fan 'e beslút fan Maxwell syn gebrûk beheind is. Dêrom binne sokke metoaden foar analysearjen fan 'e stabiliteit fan systemen ûntwikkele, as it finen fan wurken net ferplicht is. Allinich dizze metoaden binne duorsume kritearia neamd. Hjirmei sjogge wy it mooglik om de meast foarkommende te behanneljen.

Kriterium Hurwitz (1895).

Systeegeling fan oarder n

a n p n + a n-1 p n-1 + a n-2 p n-2 + ... + a 2 p + a 1 p + a 0 = 0

sil woartels hawwe mei allinich negative echte dielen as de folgjende easken foldien binne:

Alle koeffizienten fan 'e karakteristike gearhing en alle diagonaal-minoaren fan' e determinant fan Hurwitz moatte posityf wêze:

en k > 0, k = 0,1,2, ..., n; M k > 0, k = 0,1,2, ..., n-1.

De regel fan it opsetten fan de determinante Hurwitz.


a n-1 a n-3 a n-5 .................. ... 0

a n a n-2 a n-4 ...................... .

0 a n-1 a n-3 ...................... .

0 a n a n-2 ..................... ...

M 0 = ... ... ....................................................

. 0 ........................ 0 0 ..

. 0 .... ..................... a 1 0

0 0 ... .. ..................... a 2 a 0

De koeffizienten fan 'e lykboaasje binne opfolgjend lizzend lâns de haad diagonaal, begjinnend mei de twadde fan links. De ôfspraak fan 'e koeffisynten yn' e kolommen fan boppe nei ûnderen komt oerien mei har lokaasje yn 'e gearhing fan rjochts nei links. De plakken fan 'e ûntbrekkende koeffizienten binne folop mei nullen. Diagonale minderjierrigen binne ferminderingen dy't ôfkomstich binne fan de Hurwitz-determinant troch opfolgjend deletion fan de rjochter kolommen en ûnderdielen. Bygelyks, in minne mei in yndeks (n-3) liket sa:

in n -1 a n -3 a n -5

M n-3 = a n a n-2 a n-4 = a n-1 a n-2 a n-3 + a n a n-1 a n-5 - a n a n-3 2 - a n -4 a n-1 2

0 a n -1 a n -3 .

Tink derom dat yn 'e yndeksingsproseduere troch ús oannommen is de lytse yndeks mei de yndeks fan' e koeffizzer yn 'e legere rjochte hoeke.

Modifikaasje fan it kritearium Hurwitz - Kritearia Liénard-Shipar. De skriuwers fan dit kritearium fûnen dat it mooglik is om mei minder ûngelikens te rjochtsjen as ferplicht troch it kritearium fan Hurwitz. Neffens dit kritearium is de easken fan positiviteit fan alle diagonaal-minoaren ferfongen troch de easken fan positiviteit fan diagonaal-minoaren mei ungezachte yndustes.

Mikrila's kritearium (1938).

Lit de eigener fan it systeem wêze

D (p) = a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 . (3.73)

As p 1 , p 2 , ..., p n binne syn woartels (algemien ûnbekend), dan, neffens it teorem fan Bezout, kin it as produkt fertsjintwurdige wurde

D (p) = a n (p - p 1 ) (p - p 2 ) ... (p - p n ). (3.74)

Meitsje de ferfanger p = iw:

D (iw) = a n (iw - p 1 ) (iw - p 2 ) ... (iw - p n ) = U (w) + iV (w). (3.75)

Undersykje op it komplekse fleantúch yn koördinaten (a, iw) it gedrach fan 'e fektor (iw - p k ) by it wizigjen fan' t fan - ¥ nei + ¥, fierder in en w binne de echte en imaginêre dielen fan 'e root p k . Sûnt foar in stabile systeem in <0 binne de konstruksjes lizze lofts fan 'e imaginêre as se (3.20).

α
p k
iω-p k
π
ω → + ∞
ω → -∞


Fig.3.20. Behavior fan de ferskillende fektor.

As jo ​​w wizigje fan - ¥ nei + ¥, draait de fektorferskil yn 'e positive rjochting troch de winkel p:

arg (iw - p k ) = p, wÎ (- ¥, + ¥).

De fektor D (iw) = U (w) + iV (w) is it produkt fan fekkers, en as w w w w w - ¥ nei + ¥ wurdt de rotaasje dan np, as de som fan 'e wikselen fan yndividuele fekters:

arg [U (w) + iV (w)] = np, wO (- ¥, + ¥).

Troch de wearden fan 'e fektor U (w) en V (w), op' e komplekse fleantúch, kinne wy ​​wearden yn 't berikke (- ¥, + ¥) berekkenje en in kruving yn' e koördinaten U en iV oanpasse. Dizze krom is symmetrysk oer de echte as. Meastentiids beskôgje de helte fan 'e wiziging yn w yn it berik (0, + ¥), en dizze krûme wurdt de Mikhailov-krom neamd. Fansels, foar dit ferskaat fan wiziging w, sil de rotaasje fan de fektor U (w) + iV (w) wêze

arg [U (w) + iV (w)] = n (p / 2), wO (0, + ¥).

Dit betsjut de formuliering fan it kritearium fan Mikhailov.

ATS is stabile as de Mikhailov-kromme begjint op it positive part fan 'e echte as en besiket sa folle fermiddens fan it komplekse fleantúch, wat is de oarder fan' e systemgleichung.

Foarbylden fan Mikhailov-krúmen foar stabile systemen fan ferskillende oarders binne yn 3.21 oanjûn.

U
U
U
iV
iV
iV

Fig.3.21. Mikhailov-kurres binne stabile ATS 3, 4, en 6 oarders fan grutte.

Foar ynstabile ATS binne de mikhailov-kurres net trochgean fan 'e juste nûmers (3.22).

U
iV

Fig.3.22. Unstabile ATS 4 oarder.

Applikaasje fan it kritearium fan Mikhailov.

1. Skriuw eigen systeembehearder

D (p) = a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 .

2. Substitution p = iw is makke:

D (iw) = a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 + ... + a 2 (iw) 2 + a 1 iw + a 0 = U (w) + iV (w).

3. De echte en imaginêre dielen ûnderskiede:

U (w) = a 0 - a 2 w 2 + a 4 w 4 - a 6 w 6 + ...;

V (w) = a 1 w - a 3 w 3 + a 5 w 5 -a 7 w 7 + ...

4. As jo ​​in searje fan wearden yn it berik (0, ¥) hawwe, wurde de oerienkommende wearden fan 'e koördinaten fan' e fektor fan 'e Mikhailov-krúzje berekkene en dizze kruve is oanlein.

5. Mei de foarm fan 'e krom, wurdt in konklúzje oer stabiliteit makke.

Notysje Foar elke system giet de Mikhailov-krúzje nei dat fearnsjier ynfinityf, dat is de folchoarder fan it systeem, en dit eigendom moat brûkt wurde as it kiezen fan it ferskaat fan feroare fan w.

Nyquist Criterion (1932).

Dit kritearium jout om te rjochtsjen oer de stabiliteit fan in sletten SAR troch de foarm fan de amplitude-faze-skaaimerken fan dit systeem yn 'e iepensteat. Tusken de AFC fan in iepen-loopsysteem Wp en in sletten W 3 binne de ferhâldingen:

W 3 = W p / (1 + W p ); W p = W 3 / (1- W 3 ).

Tink de SAR-skema yn ôfbylding 3.23. In systeem mei in transferfunksje yn 'e iepensteat Wp is sletten troch in inkeld negative haadkommunikaasje.

W p
-1
x = A x sinwt
y = A y sin (wt + φ)
-y


Fig.3.23. It sluten fan in iepen SAR.

Meitsje it sluten in foarkommende skeakel yn it plak oanjûn troch de puntearre line. Wy stimulearje de ynput harmony x. Oscillaasjes by de útfier fan in iepen systeem

y = A y sin (wt + j)

en op 'e útfier fan' e feedback-link, de oscillaasjes hawwe in reverse-teken, dy't kin wurde as in phasearje troch de hoeke p:

y = - A y sin (wt + j) = A y sin (wt + j - p).

Wy sjogge in soadfrekwinsje wêrby't de faze-skeakeling resultaat yn in iepen-loop systeem,

j = p.

As op dizze frekwinsje de Amplitude A y útmjittet as minder as A x , dan betsjut dit dat wannear't troch de iepen ATS passe, de oscillaasjes ferfalle en de ATS yn 'e sletten steat stabyl wêze. As op it tsjinoerstelde - sluten SAR is ynstabile. Om't it ratio fan 'e amplitude fan' e útfieringsoszillaasjes nei de amplituden fan 'e ynfier is it AFC-modul, is it op in frekwinsje dy't oerienkomt mei de faseversysje p foar in stabile systeem minder dan ien. Dêrtroch is de formulaasje fan it Nyquist kritearium.

In sletten systeem sil stabyl wêze as it oerienkommende iepen systeem stabyl is, en de AFC fan 'e lêst docht it punt net mei koördinaten (-1.0i) (figuer 3.24).

M
iN
a
.
, 0i
M
iN
b
.
-
1.0i


Fig.3.24. AFC iepensystemen:

in - sluten systeem is stabyl;

b - sluten systeem is netstabele.

D is de dieling fan 'e parameterromte.

Dizze metoade foar analysearjen fan SAR foar duorsumens ferskilt fan oaren yn dat it antwurd net allinich jout oan 'e fraach oft SAR stabyl is of net, mar makket it ek mooglik om te bepalen foar guon parameters fan it systeem dat wy be>

Lit de karakteristike lykwearde fan 'e SAR it formulier hawwe

a n p n + a n-1 p n-1 + ... + Ap k + ... + Bp s + ... + a 1 p + a 0 = 0, (3.76)

wêrby A en B de koeffizienten fan 'e gearhing binne foar wa't wy de gebieten fine wolle wêr't de CAP stabyl is. Wy ûntliene it systeem nei de stabegrinzen, wêrmei't wy de oanwêzigens fan 'e reine imaginêre woartels fan lykweardigens (3.76) nedich binne p = iw:

in n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 + ... + A (iw) k + ... + B (iw) s + ... + a 1 (iw) + a 0 = 0. (3.77)

It komplekse nûmer skreaun is nul by definysje as syn echte en imaginêre dielen nul binne. Jo selektearje, krije wy:

F 1 (A, w) = 0; F 2 (B, w) = 0 (3.78)

Somtiden is it mooglik om w fan dizze gelikensens út te sluten, en dan wurdt de ôfhinging krigen

B = f (A). (3.79)

De funksje B = f (A) is de grins fan stabiliteit en lit de imaginêre as fan 'e komplekse rootflat sjen. It dielt de regio fan mooglike wearden fan A en B neffens de needsaaklike steat fan stabiliteit yn regio's fan stabiliteit en ynstabiliteit. Om it gebiet fan duorsumens te markearjen is de maklikste manier om dat te dwaan. Stel op in bepaald gebiet in punt mei koördinaten (A = A 1 , B = B 1 ) en mei help fan ien fan 'e kritearia dy't earder beskôge is, analysearje dit bepaalde systeem foar stabiliteit. As it resultaat posityf is, betsjut dit dat it hiele gebiet wêr't it selektearre punt heart, is it gebiet fan stabiliteit, en har lûkje by de grins mei de rjochting fan 'e luch nei binnen. As de rigel fan stabiliteitsgryp sels sels krêft hat, dan, as se de skerpe gebiet útlizze, wurdt de skatting op deselde kant trochlutsen troch de krom. In typysk foarbyld fan in D-partysje is it Vyshnegradskrityk as hjirûnder beskôge.

Kriterium Vyshnegradsky (1876).

It jildt foar systemen fan 'e tredde folchoarder en is ûntwikkele yn' e tiid fanwege de needsaak om de CAP fan 'e skuorrefeart fan in stoommotor te analysearjen mei in direkte-aktive sintruplike regulator. Systeme karakteristike lykwearde

a 3 p 3 + a 2 p 2 + a 1 p + a 0 = 0.

By it útwikseljen fan de fariabele

p 3 (a 3 / a 0 ) = U 3 ,

kom ta de útdrukking

U 3 + AU 2 + BU + 1 = 0, (3,80)

neamd de Vyshnegradski-lykweardigens, dêr't de koeffizienten binne

;

neamd Vyshnegradski parameters.

Wy tinke earst út dat de needsaaklike stabile betingsten yn dizze foarm útdrukt binne:

A> 0, B> 0. (3.81)

Wy stjoeren it systeem nei de stabegrinzen, dêr't wy p = iw yn lykweardigens (3.80) ferfange:

(iw) 3 + A (iw) 2 + B iw + 1 = 0,

dat nei it skieden fan 'e echte en imaginêre dielen jout


1 - aw 2 = 0

Bw - w 3 = 0 (3.82)

Fan 'e twadde lykwicht fan systeem (82) ferfange wy de earste w 2 = B, en yn' e mande mei (81) krije wy de betingsten foar de stabegrinzen:

А> 0, В> 0, АВ = 1. (3.83)

Yn 'e Vyshnegradski-skema (fig. 3.25) is de krom neamd de Vyshnegradski hyperbola is de stabegrinzen, en dielt it romte fan mooglike wearden fan' e koeffizienten A en B yn twa dielen, ien fan dy is de stabiliteitsregio. Om dit gebiet te besjen, sjogge wy in bewuste stabile systeem, de woartels fan 'e karakteristike lykweardigens fan hokker

U 1 = U 2 = U 3 = - 1.

Dan kin it karakteristysk polynom fertsjintwurdige wurde as

U 3 + AU 2 + BU + 1 = (U - U 1 ) (U - U 2 ) (U - U 3 ) = (U + 1) 3 = U 3 + 3U 2 + 3U + 1,

wêrtroch A = 3, B = 3. Dizze koördinearren befetsje it punt M op it skema, dus it gebiet boppe de Vyshnegradskij hyperbola is it gebiet fan stabiliteit. Dan wurde de stabile betingsten sa skreaun:

A> 0, B> 0, AB> 1.

.
M
Sustainable
AB = 1
A
Yn

Fig. 3.25. Vyshnegradski diagram.





Sjoch ek:

Bedriuwen foar automatyske kontrôlesystemen.

ELEMENTS OF THE THEORY OF DISCRETE AUTOMATIC SYSTEMS

Diskrete funksjes, har ferskillen en summen.

It gefal fan ferkearde ynklúzje fan 'e regulator.

De kwaliteit fan regeljouwingprosessen.

Return to Table of Contents: AUTOMATIC REGULATION THEORY

2019 @ edudocs.fun